CodeForces 894C Marco and GCD Sequence|构造

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题目大意：

推荐看原文（特别是第一段）

给出一个 \(n\) 个数序列 \(a\) ，将\(gcd(ai, ai + 1, ..., aj)\) ，其中\(1 \le i \le j \le n\)，放入集合\(S\)。现在给出\(m\)个数的集合\(S\)，求\(a\)数组。

\(n\le 4000 ,m\le 1000\)

题目思路：

非常有趣的思维体操构造题。

显然构造出来的序列不能出现给出序列以外的数，但是由于要求构造的数列可以是 \(4\) 倍于原序列，我们可以重复至多 \(4\) 次该序列的数。

现在直接给出一个构造方法：在原序列每个数后插入第一个数。即s[1] s[2] s[1] s[3] s[1]...s[m]

证明其正确性：

首先，要构造出该序列，原序列必须满足对于 \(1\le i \le m\)，\(s_i\) 是 \(s_1\) 倍数。

因为 \(s_1\) 一定是整个序列的GCD，否则 \(s_1\) 必定无法是序列中任何一段的GCD。

那么，整个序列必定是 \(s_1\) 的倍数。若存在一个 \(s_i\) 不是 \(s_1\) 的倍数，则若存在这个序列，其中一段的GCD不是 \(s_1\) 的倍数，根据GCD的性质，这一段数向左，向右伸展，其GCD也必然不是 \(s_1\) 的倍数，那么整个序列的GCD一定不是 \(s_1\)。与上面矛盾，不成立。若出现这种情况，输出 -1 即可。

根据此性质，按照我们的构造方法，单一一个数的GCD是其本身，多个数由于 \(s_1\) 的存在，其GCD必定为 \(s_1\)，符合题意。

上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[1500];
int gcd(int x,int y)
{
	if (!y) return x;
	return gcd(y,x%y);
}
int main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		if (gcd(a[i],a[1])!=a[1]) 
		{
			cout<<"-1\n";
			return 0;
		}
	}
	cout<<2*n-1<<endl;
	cout<<a[1]<<" ";
	for (int i=2;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" "<<a[1]<<" ";
	return 0;
}