饭后温柔

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曲线上的匀速运动

Posted on 2018-02-04 15:15  饭后温柔  阅读(1495)  评论(0编辑  收藏  举报

前几天在做摄像机轨道时,解决匀速定长运动问题,刚好理解了题述问题。

首先做完这个曲线上匀速运动的编程实现后,是十分愉悦的。这个问题里,两个科学史上的伟人,牛顿和高斯,相继大显身手,怎能不让人膜拜?我之前并不了解所涉及的数值分析方法,所以觉得很神奇。

以下为简洁我会使用向量的表示方法,使用大写数字代表向量。以catmullrom样条曲线(spline)为例,对于一个关于t的多次样条曲线:

Q(t) = At^{3} + Bt^{2} + Ct + D

一般来说实际中,t的范围都是[0, 1]。当t在[0, 1]中滑动时,Q(t)的集合即为一条平滑曲线。注意到当t以匀速移动时,Q(t)在沿曲线方向上并不是匀速移动。要做到这一点,显然曲线长度是需要考虑的。假设在t点处我们有曲线长度

s = L(t)

那么s长度所对应的t即为上面方程的反函数:

t = L^{-1}(s)

反带入Q(t),得

Q(t) = Q(L^{-1}(s)) = Z(s)

s的区间显然是0到曲线长度,于是我们可以对s做匀速递增从而拿到Z(s)的位置, 从而完成匀速插值。这就是整个思路,难点在于求S=L(t),这实际上是一个求积分的问题。很遗憾,一般来说此处该问题你是很难得到一个解析的积分公式的,实际中是通过数值计算方法得到该积分值。

而既然积分值s我们是用的数值方法得到,那很显然求该积分函数的逆,即给定的s对应的t,也只能通过数值方法得到了,我们将会使用牛顿迭代法。

该积分我们使用Guass-lengendre积分来实现,通过选定的几个积分点及权重,它神奇而快速的得到精度很高的积分值。我们直接来重点吧,该方法需要一张n阶权重表,比如5阶权重表:

及一个计算公式:

\int_{a}^{b}f(x)dx = \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n}{w_{i}f(\frac{b-a}{2}x_{i}+\frac{b+a}{2})}

为了应用该公式,我们有:

\frac{ds}{dt} = ||Q'(t)|| \Rightarrow ds = ||Q'(t)dt \Rightarrow s = \int_{0}^{t}||Q'(x)||dx

Q'(t)为Q(t)的导,||Q'(t)||为该点处的长度:

Q'(t) = 3At^{2} + 2Bt + C

具体对于我们的公式,有:

s= L(t) = \int_{0}^{t}||Q'(x)||dx = \frac{t}{2}\sum_{i=1}^{n}{w_{i}||Q'(\frac{t}{2}x_{i}+\frac{t}{2})||}

将表中的值依次带入,迭代计算即可得到t点处的积分值s。比我之前快速实现时所采用的线性分割方法快了100倍有没有?特别是该方程的普适性,对于多阶多项式都适用而且精度非常高。有种魔性在这里,高斯是神。

现在s=L(t)对我们来说是已知了,那么如何求s所对应的t呢?这实际上是求方程:

L(t) - s = 0

的根。因为L(t)没有解析表达,我们将使用牛顿迭代法:

b= a - \frac{f(a)}{f'(a)}

将得到的b的值作为a再带入上述公式,迭代几次即可逼近s = f(x)的根。具体到我们的公式:

b= a - \frac{L(a) - s}{L'(a)}

对于特定的s,我们首先要拟定一个初值a,因为样条曲线性质良好,而且一般说来实际中不会允许2点间出现陡峭的曲线,一定会多加一些点令2点间曲线形状为凸或凹的,所以我们可以近似认为t在区间[0, 1]的比例,近似等于s与总长度的比例。而显然总长为L(1),通过前面的高斯积分已经可以算出,于是初始值a我们可拟定为:

a = \frac{s}{L(1)}

反复迭代(3-4次的精度就不错了),得出最终t值,再把该值反带入Q(t)中,得到对于给定s值所对应的位置,至此我们完成了样条曲线的重参数化。