25匹马取前5

问题： 

一共有25匹马，有一个赛场，赛场有5个赛道，就是说最多同时可以有5匹马一起比赛。假设每匹马都跑的很稳定，不用任何其他工具，只通过马与马之间的比赛，试问最少得比多少场才能知道跑得最快的5匹马？

 

思路：

先将25匹马分成五组，进行五场比赛。第六场比赛可以考虑都取各个小组的第一名（或第二名）。假设都取各小组的第一名，根据这场比赛的排名，将原来的小组分别编号为a、b、c、d、e，并将原来的25匹马分别编号为：

a1 b1 c1 d1 e1

a2 b2 c2 d2 e2

a3 b3 c3 d3 e3

a4 b4 c4 d4 e4

a5 b5 c5 d5 e5

其中Xi，X表示组的编号，i为在该组的排名，则有：
 a1 > b1 > c1 > d1 > e1
 a1 > a2 > a3 > a4 > a5
 b1 > b2 > b3 > b4 > b5
         .......
 e1 > e2 > e3 > e4 > e5
  

注意到：跑得比a3、b2、c1这三匹马都快的只可能是a1、a2、b1，因而a3、b2、c1三匹马中跑得最快的必然是前四之一。因此，第七场比赛，这三匹马必然参加，剩下两个名额待定。先考虑这三匹马的排名：

(下面用[]集合表示已确定是前五的马，用{}集合表示剩下的马中所有有可能是前五的马。)

① a3 b2 c1 或 a3 c1 b2: 则 [a1, a2, a3]  + {a4,a5,b1,b2,c1}

② b2 a3 c1: [a1,b1,b2]  +  { a2,a3, b3,b4}

③ b2 c1 a3: [a1,b1,b2] + {a2,b3,b4,c1,c2,d1}

④ c1 a3 b2: [a1,b1,c1] + {a2,c2,c3,d1,d2,e1 }

为了能在第八场确定前五，必须将上面的{a2,b3,b4,c1,c2,d1} 和{a2,c2,c3,d1,d2,e1} 的候选马匹数减少到五匹，因而剩下的两个名额必须是这两个集合的重复元素，即是{a2, c2, d1}中的两个。由于a2跑得比a3快，若选择a2的话，不能利用前面的分析，因而剩下两匹马选择 c2 和 d1。

 

第七场比赛：a3、b2、c1、c2、d1 的前两名是:

 ① a3   :  [a1, a2, a3] +  {a4, a5, b1, b2, c1}的前二名（由第八场比赛决定）

② b2 a3:  [a1, b1, b2] +  {a2,a3, b3,b4}的前二名

③ b2 c1: [a1, b1, b2] +  {a2, b3, b4, c1, max(c2, d1)} 的前二名

④ c1 a3: [a1,a2,a3,b1,c1]  （第七场就可确定前五）

⑤ c1 b2: [a1,b1,c1] +   {a2,b2,b3,c2,d1}的前二名

⑥ c1 c2: [a1,b1,c1,c2] + {a2,b2,c3,d1}的第一名

⑦ c1 d1: [a1,b1,c1,d1] + {a2,b2,c2,d2,e1}的第一名

 

因而，最少七场比赛，最多八场比赛就可确定跑得最快的5匹马。