5. Longest Palindromic Substring【字符串 DP】

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.

 

版本1：Brute Force    O（n^3）

双指针

——————————————————————————————————

版本2：DP---改进版本1，避免重复计算    O(n^2)   | O(n^2) 

 

该方法可以用于收集整个字符串的回文状态，作为子问题。

类似于LCS，是LCS与KMP的变种，若采用LCS是有问题的，因为公共子串未必是回文串

 

解：

状态：定义二维数组P[i,j]用以表示Si…Sj是回文（true）或不是回文（false）

状态转移方程 ： P[i,j] = (P[i + 1, j - 1] && Si ==Sj)

初始条件是：P[i, i]=true，P[i, i + 1] = (S_i == S_i+1)

C++版（ 使用 C++ 、java可以A ， Python超时）

 

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
    	int l = s.length();
    	bool p[1000][1000] = {false};
    	int max_len = 1 , max_beg = 0;
    	p[l-1][l-1] = true;
    	for(int i=0;i<l;i++){
    		p[i][i] = true;
    		if(s[i] == s[i+1]){
    			p[i][i+1] = true;
    			max_len = 2;
    			max_beg = i;
    		}
    	}
    	for(int length=3 ;length<=l ;length++){
    		for(int i=0;i<=l-length;i++){
    			int j = i+length-1;
    			if(s[i] == s[j] && p[i+1][j-1]){
    				p[i][j] = true;
    				max_beg = i;
    				max_len = length;
    			}
    		}
    	}
    	return s.substr(max_beg,max_len);
    }
};

 

　　

 

Java版

public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        int n = s.length();
        if( n == 0 ) return s;
        String str = s.substring(0,1);
        boolean[][] dp = new boolean[n][n];
        for ( int i=0;i<n-1;i++ ){
            dp[i][i] = true;
            if( s.charAt(i) == s.charAt(i+1) ){
                str = s.substring(i,i+2);
                dp[i][i+1] = true;
            }
        }
        dp[n-1][n-1] = true;
        //初始化完成 O(n)
        for( int i=n-2;i>=0;i-- )
            for( int j=i+2;j<n;j++ ){
                dp[i][j] = dp[i+1][j-1] && (s.charAt(i) == s.charAt(j));
                if( dp[i][j] == true && j-i+1 > str.length() )
                    str = s.substring(i,j+1);
            }
        return str;
    }
}

　　

 

Python版

s='gsdabcdcbaee'
l = len(s)
p = [[False]*l for i in range(l)]
# init
max_len , max_beg = 1 , 0
p[l-1][l-1] = True
for i in range(l-1):
	p[i][i] = True
	if s[i] == s[i+1]:
		p[i][i+1] = True
		max_len = 2
		max_beg = i
for length in range(3,l+1):
	for i in range(0,l-length+1):
		j = i+length-1
		if s[i] == s[j] and p[i+1][j-1]:
			p[i][j] = True
			max_beg = i
			max_len = length
print s[max_beg:max_beg+max_len]

　　

——————————————————————————————————

 

版本3：中心扩展法    O(n^2) |  O(1)       该方法用Python可A，因为最坏情况才n^2,时间更接近n

Python

def Palindromic( s , i , j ):
	l = len(s)
	curLen = 0
	while i>=0 and j<l and s[i] == s[j]:
		i -= 1
		j += 1
	curLen = (j - 1) - (i + 1) + 1
	return curLen 
class Solution(object):
    def longestPalindrome(self, s):
        start = 0
        max_len = 1
        for i in range(len(s)):
        
        	curOdd = Palindromic(s,i,i)
        	if curOdd > max_len:
        		max_len = curOdd
        		start = i - curOdd/2
        	if i+1<len(s):
        		curEven = Palindromic(s,i,i+1)
        		if curEven > max_len:
        			max_len = curEven
        			start = i + 1 - curEven/2
        return s[start:start+max_len]

　　

 

——————————————————————————————————

版本4：Manacher线性算法  O(n)       改进版本3，

俗称：马拉车算法

Tip1:插入'#'可以一次性解决奇偶回文问题             abcdcba  ------------->   #a#b#c#d#c#b#a#

Tip2:记录状态，避免重复计算（回文发生大量重叠 时“abacabaaa”）

Tip3:避免越界前后设置别的符号作为界限。

 

状态：P[i]记录以i对应元素为中心的最长回文串的半径（包含自己）。

状态转移：p[i] = mx>i? min( p[ 2*id-i ] , mx - i ) : 1

 

该方程分为三种情况

1、 mx>i 且 mx-i > p[ j ]   (j=2*id-i) ； --> p[ i ] = p [ j ] = p[ 2*id - i ]

2、mx>i 且 mx-i<=p[ j ] ； ---> p[ i ] >= mx-i 继续匹配。

3、mx<=i 无法利用p数组，继续匹配。

 

public class Solution {
    public String longestPalindrome(String s) {
        //预处理
		StringBuffer sb = new StringBuffer("^#");
		for( int i=0;i<s.length();i++ ){
			sb.append(s.substring(i,i+1)+"#");
		}
		sb.append("$");
		String str = sb.toString();
		//预处理完毕
		int[] p = new int[str.length()];
		int mx = 0 , id = 0;
		for( int i=1;i<str.length()-1;i++ ){
			p[i] = mx>i ? Math.min( p[ 2*id-i ] , mx - i + 1 ) : 1;
			while( str.charAt( i+p[i] ) == str.charAt( i-p[i] )) ++p[i];
			if( p[i] > p[id] ) {
				id = i;
				mx = i + p[i] - 1;
			}
		}
		return s.substring( (2 * id - mx - 1) / 2  , (mx-1)/2 );
    }
}

　　

参考文章：http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4475985.html

 

——————————————————————————————————

版本5：后缀树    O(nlog(n))

 

暂空

——————————————————————————————————

什么时候使用动态规划法：

• Optimal substructure    最优子结构

• Overlapping subproblems 重叠子问题

构建解的方法：

Characterize structure of optimal solution   状态

Recursively define value of optimal solution 状态转移

Compute in a bottom-up manner 自顶向上

——————————————————