[BZOJ 3227] [SDOI 2008] 红黑树(tree)

Description

红黑树是一类特殊的二叉搜索树，其中每个结点被染成红色或黑色。若将二叉搜索树结点中的空指针看作是指向一个空结点，则称这类空结点为二叉搜索树的前端结点。并规定所有前端结点的高度为-1。
　　
一棵红黑树是满足下面“红黑性质”的染色二叉搜索树：

　　(1) 每个结点被染成红色或黑色；
　　(2) 每个前端结点为黑色结点；
　　(3) 任一红结点的子结点均为黑结点；
　　(4) 在从任一结点到其子孙前端结点的所有路径上具有相同的黑结点数。

从红黑树中任一结点 \(x\) 出发（不包括结点 \(x\)），到达一个前端结点的任意一条路径上的黑结点个数称为结点 \(x\) 的黑高度，记作 \(bh(x)\)。红黑树的黑高度定义为其根结点的黑高度。
　　
给定正整数 \(N\)，试设计一个算法，计算出在所有含有 \(N\) 个结点的红黑树中，红色内结点个数的最小值和最大值。

Input

　　输入共一个数 \(N\)。

Output

　　输出共两行。
　　第一行为红色内结点个数的最小值，第二行为最大值。

Sample Input

8

Sample Output

1
4

HINT

对于 100% 的数据，\(1≤N≤5000\)

Solution

设 \(f[i][j][0/1]\) 表示节点数为 \(i\) 的子树，该树的黑高度为 \(j\)，根节点颜色为红/黑，容易想出 \(n^3\) 的转移方程：

\[f[x][h][0]=\min\{f[y][h][1]+f[x-y-1][h][1]\}+1\\ f[x][h][1]=\min\{f[y][h-1][0/1]+f[x-y-1][h-1][0/1]\} \]

有个性质，黑高度是 \(O(\log n)\) 级别的，那么复杂度就可以降为 \(O(n^2\log n)\)。

这里还有一种 \(O(\log n)\) 的贪心做法：

一棵 \(n\) 个节点的红黑树，前端节点的个数一定是 \(n+1\) 个，证明考虑先证出一条链的情况，然后无论怎么移动节点都不变。

于是就相当于将 \(n+1\) 个黑点合并成一个根节点，每次我们将一部分黑节点合并成一个黑节点，无非就这三种情况：

（图片来自这里）

这三棵树的黑高度都是相同的，可以逐层合并，对于最小值，我们就两个两个合并，最大值就四个四个合并。具体见代码。

注意代码中加 \(!!!\) 的那一行，由于 \(2/4*2=0\)，因此要单独判断。

Code

#include <cstdio>

int main() {
	int n, m, ans = 0;
	scanf("%d", &n), m = n + 1;
	while (m > 1) ans += m & 1, m >>= 1;
	printf("%d\n", ans), m = n + 1, ans = 0;
	while (m > 1) {
		if (m == 2) ++ans, --m; //!!!
		else if ((m & 3) == 1) ans += ((m >> 2) << 1) - 1, m = (m >> 2) + 1;
		else if ((m & 3) == 2) ans += (m >> 2) << 1, m = (m >> 2) + 1;
		else if ((m & 3) == 3) ans += ((m >> 2) << 1) + 1, m = (m >> 2) + 1;
		else ans += m >> 1, m >>= 2;
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}