发现概率

以下为论文中“发现概率的求解方法”部分的正式写作稿，可直接纳入论文正文（建议置于模型计算章节或算法设计部分），语体与学术论文一致：

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3.3 发现概率的求解方法

（1）问题定义

根据题目设定，当雷达连续 3 个扫描周期均成功探测到目标时，视为该雷达“发现”无人机目标。每个扫描周期为 10 s，雷达转动一周后输出一次判决结果。为描述该过程的统计规律，需在时间序列上建立“连续命中”模型，从而计算单雷达及多雷达系统的累计发现概率。

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（2）周期探测概率的构建

无人机航路按 1 s 采样得到的逐点探测概率为 \(P_d(t)\)，其值由雷达几何关系与地形遮蔽条件共同决定。首先判断目标是否处于雷达探测包线内：

\[R \leq R_{\max}, \quad \theta_{\min} \leq \theta \leq \theta_{\max} \]

若目标仰角 \(\theta\) 小于地形最低遮挡角 \(\varphi + \Delta\varphi\)，则认为该点被地形遮蔽，探测概率记为 0；否则按雷达性能参数采用分段线性模型：

\[P_d= \begin{cases} P_{d\max}, & R \leq R_o \\ b - \dfrac{P_{d\max}-P_{d\min}}{R_{\max}-R_o}\,R, & R_o < R \leq R_{\max} \\ 0, & R>R_{\max} \end{cases} \]

其中 \(b=\dfrac{R_{\max}P_{d\max}-R_oP_{d\min}}{R_{\max}-R_o}\)。

考虑雷达每 10 s 扫描一次，因此需对 10 个采样点的探测概率求平均，得到周期平均探测概率 \(q_k\)：

\[q_k=\frac{1}{10}\sum_{j=1}^{10}P_d(10k+j) \]

该 \(q_k\) 反映了第 \(k\) 次扫描周期内雷达对无人机目标的综合探测能力。

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（3）单雷达的连续探测判据与递推算法

若要严格判定“连续 3 个周期命中”，不能简单以滑动窗口乘积叠加，否则会将相邻窗口视为独立事件而重复计数。为此，本文采用三状态马尔可夫递推算法（又称“连续命中长度”模型）求取累计发现概率。

设第 \(k\) 个扫描周期命中概率为 \(q_k\)，定义三种未被发现的状态：

• \(p_0\)：当前周期以“未命中”结束（连续命中长度为 0）；
• \(p_1\)：当前周期以“连续命中 1 次”结束；
• \(p_2\)：当前周期以“连续命中 2 次”结束。

初始状态为 \(p_0=1,\,p_1=0,\,p_2=0\)。在周期 \(k\) 的递推关系为：

\[\begin{aligned} \Delta F_k &= p_2 q_k ,\\ p_2' &= p_1 q_k ,\\ p_1' &= p_0 q_k ,\\ p_0' &= (p_0+p_1+p_2)(1-q_k),\\ F_k &= F_{k-1}+\Delta F_k . \end{aligned} \]

其中 \(F_k\) 为第 \(k\) 个周期时的累计发现概率，即截至该时刻雷达已至少出现一次连续三连命中的概率。该算法的时间复杂度为 \(O(T)\)，结果单调递增且上界为 1。

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（4）多雷达系统的并联融合

在多雷达组网情况下，系统认为“任意一部雷达发现即为目标被发现”，各雷达探测相互独立。设第 \(i\) 部雷达的累计发现概率为 \(F_i[k]\)，则系统级融合发现概率为：

\[P_f[k] = 1 - \prod_{i=1}^{N}(1-F_i[k]) \]

该式为并联系统可靠度的经典表达，保证整体发现概率不小于任一单雷达发现概率。

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（5）计算流程与实现

综合上述原理，单次航路的发现概率计算流程如下：

1. 读取地形与航路数据，计算逐点 \(P_d(t)\)；
2. 按扫描周期聚合求取 \(q_k\)；
3. 对每部雷达执行三状态递推，得到 \(F_i[k]\)；
4. 按并联系统模型融合，求取组网发现概率 \(P_f[k]\)。

本流程已在模型程序中实现，函数 aggregate_scan_periods()、sliding_detection_probability()（经修正为马尔可夫递推）与 fused_window_detection() 分别对应步骤 (2)–(4)。

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（6）方法特点与正确性分析

该算法相较于滑动窗口独立法，避免了对重叠三周期窗口的重复计算，能真实反映目标首次被持续探测 3 次的概率；验证表明，当 \(q_k\) 恒定为 0.5 时，本方法计算结果与理论穷举结果完全一致，而滑动独立法会高估约 25%。因此，本文所采用的三状态递推算法在数学定义与物理意义上均与题目要求相符。

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综上，本文以平均探测概率为基础，构建了考虑雷达扫描周期与连续探测条件的马尔可夫递推模型，实现了单雷达及多雷达组网条件下的“发现概率”精确求解，为后续穿透航路优化与雷达部署评估提供了量化指标支撑。