欧拉函数与欧拉定理

欧拉函数

一、定义

欧拉函数 \(\varphi(n)\)表示1~n中与n互质的个数

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二、性质

以下涉及的数均为数论数.
(1)设p为素数,则\(\varphi(p)=p-1\)

　　
(2)若m=m1*m2 则有:
　　1.若m1,m2有相同质因子,则\(\varphi(m)=m2\varphi(m1) (m2<=m1)\)
　　2.若m1,m2互质,则\(\varphi(m)=\varphi(m1)\varphi(m2),所以欧拉函数是不完全积性函数\)
　　

(3)p为素数,\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\),因为只有p的倍数与其不互质。
　　
(4)设\(n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\)，
则\(\varphi(n)=\varphi(\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i})\)，
由（2.2）得\(\prod_{i=1}^{k}\varphi(p_i^{a_i})\),
由（3）得\(\prod_{i=1}^{k}(p_i^{a_i}-p_i^{a_i-1})=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}(1-\frac{1}{p_i})=n \prod_i^{k}(1-\frac{1}{p_i})\)
综上\(\varphi(n)=n \prod_i^{k}(1-\frac{1}{p_i})\)
　　

所以对于求解欧拉函数,我们需要先进行质因数分解。

int euler(int x){
    int res = x;
    for(int i=2; i*i<=x; i++)
        if(x % i == 0){
             res = res / i * (i - 1);
             while(x % i == 0) x /= i;
         }
    if(x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

或者用每个质数去对它的倍数做贡献.

for(int i=1; i<=maxn; ++i) phi[i] = i;
for(int i=2; i<=maxn; i+=2) phi[i] /= 2;
for(int i=3; i<=maxn; i+=2)
    if(phi[i] == i){
        for(int j=i; j<=maxn; j+=i)
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
    }

　　
　　
(5)设n是一个大于2的正整数，那么ϕ(n)是偶数。
证明:对于大于2的质数p,其一定是奇数,那么\(\varphi(p)=p-1\)为偶数,
由(3)\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\),
p=2时，\(\varphi（2^k）=2^k−2^{k−1}=2^{k−1}\)是偶数，
对于大于2的素数p，\(\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}\),p为奇数，p的次方也为奇数，两个奇数相减为偶数,
所以\(\varphi(p^k)\)为偶数。
又有积性性质\(\varphi(n)=\varphi(\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i})=\prod_{i=1}^{k}\varphi(p_i^{a_i})\)，所以\(\varphi(n)\)一定是偶数。
　　
　　
(6)对于n,有\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)
证明：
易得\(\sum_{d|m}\varphi(d)=\sum_{\frac{m}{d}|d}\varphi(d)=\sum_d\varphi(\frac{m}{d})\)
对于任意\(d|m,1\le a\le m\),设\(gcd(a,m)=d\),则\(gcd(\frac{a}{d},\frac{m}{d})=1\).一方面a有m个，另一方面,(按d=gcd(a,m)分类计数)满足gcd(a,m)=d的a有\(\varphi(\frac{m}{d})\)种取法.故有\(\sum_{d|m}\varphi(\frac{m}{d})=m\)
　　

欧拉定理

设gcd(a,m)=1,即a,m互质，则\(a^{\varphi(m)}\equiv1\)(mod m),特别的,当p为质数时,\(a^{\varphi(m)}\equiv1(mod p)\Longrightarrow a^{p-1}\equiv1(mod m)\Longrightarrow a^p\equiv a(mod m)\)

证明:
取模m的缩系 \(a1,a2,..,a_{\varphi(m)}\)，则\(aa1,aa2,..,aa_{\varphi(m)}\)也是模m的缩系.
所以\(\prod_{i=1}^{\varphi(m)}a_i \equiv \prod_{i=1}^{\varphi(m)}aa_i\equiv a^{\varphi(m)}\prod_{i=1}^{\varphi(m)}a_i(mod m)\Longrightarrow a^\varphi(m) \equiv 1(mod m)\)
特别地，当m=p(p为素数)时,\(\varphi(p)=p-1\)，此时\(a^{p-1} \equiv1(mod p)\)