[概率] 概率论笔记

概率论学习

一些概念与约定符号

• 随机试验:E
• 样本点:E的一个可能结果
• 样本空间:S(由E的所有样本点组成)
• 事件:大写字母(S的子集)
• 不可能事件:\(\emptyset\)(S的空集)
• A的频数:\(n_A\)
• A的概率:\(P(A)=n_A/n_S\)

事件关系

1. 包含:若A发生B一定发生,则称B包含A,记为\(A\subset B\)
2. 相等:若\(A\subset B\)且\(B\subset A\),则A等于B,记为A=B
3. 和事件:\(A\bigcup B\)称为A与B的和事件,当且仅当A或B发生时,A\(\bigcup\)B发生.n个\(A_i\)的并\(\bigcup^{n}_{i=1}A_i\)
4. 积事件:\(A\bigcap B(AB)\)称为A与B的积事件,当且仅当A,B同时发生时,A\(\bigcap\)B发生.n个\(A_i\)的积\(\bigcap^{n}_{i=1} A_i\)
5. 差事件:\(A-B\),当且仅当\(A\)发生,\(B\)不发生时\(A-B\)发生
6. 互斥:若\(AB=\emptyset\),则A,B互斥
7. 对立:若\(AB\)互斥且\(A\bigcup B=S\),则A,\(对立对立对立B对立,\)B=!A$

运算法则

1. 交换率:咕

2. 结合率:咕

3. 分配率:(易错)

   \[A\bigcup (BC)=(A\bigcup B)(A\bigcup C)\\ A(B\bigcup C)=(AB)\bigcup (AC) \]

4. 摩根定律:

   \[!(A\bigcup B)=!A!B\\ !(AB)=!A\bigcup!B \]

概率性质:

1. 非负性

2. 规范性

3. 可列可加性

4. 推论

   • \(P(\emptyset)=0\)

   • \(P(!A)=1-P(A)\)

   • 若\(A_1,A_2,A_3......A_n\)两两互斥,则\(P(\bigcup^{n}_{i=1}A_i)=\sum^n_{i=1}P(A_i)\)

   • 若\(B\subset A\),则\(P(A-B)=P(A)-P(B)\)

   • \(P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

   • 推广:设\(C=A\bigcup B\),则

     \[P(C\bigcup D)=P(C)+P(D)-P(DC) \]

     由

     \[P((A\bigcup B)D)=P((AD)\bigcup (BD)) \]

     有

     \[P(DC)=P(AD)+P(BD)-P(ABD) \]

     代入可得

     \[P(A\bigcup B\bigcup D)=P(A)+P(B)+P(D)-P(AB)-P(BD)-P(AD)+P(ABD) \]

     进一步可得

     \[P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=(-1)^0\sum^n_{i=1}P(A_i)+(-1)^1\sum_{1\leq i<j \leq n}P(A_iA_j)......+(-1)^{n-1}P(\bigcap_{i=1}^nA_i) \]

古典概型

1. 特点:1.\(S\)的元素个数有公式限 2.每个样本点(互斥)发生的可能性相同

2. 设\(A\)包含k个样本点,\(S\)包含n个,则\(P(A)=k/n\)

3. 经典问题

   • 生日悖论:随机取n个人,生日两两不同的概率为(\(\prod_{i=0}^{n-1}(365-i))/365^n\)

   • 超几何分布公式:有n个物品,其中有p个次品,现从n个物品中随机取出m个物品,则取出的物品中有k个次品的概率为

     \[\binom{k}{p}*\binom{n-p}{m-k}/\binom{n}{m} \]

   • 抽签的公平性证明

条件概率

B在A发生的前提下发生,记为

\[P(B|A)=n_{AB}/n_A=(n_{AB}/n_S)/(n_A/n_S)=P(AB)/P(A) \]

乘法定理

AB发生的概率有公式

\[P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \]

推广:设\(D=AB,P(AD)=P(D)P(C|D)=P(B)P(A|B)P(C|AB)\)
更进一步有

\[P(\bigcap_{i=1}^nA_i)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)......P(A_n|\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i) \]

独立性

1. 定义:当\(P(AB)=P(A)P(B)\)时,称A与B相互独立(注:独立与互斥没有关系)
2. 若\(独立且独立且独立且A,B独立且P(B)>0\)独立,则有\(P(A|B)=P(A)\)
3. 若\(独立则和也独立独立则和也独立独立则和也独立A,B独立,则A,!B和!A,!B也独立\).易证不证
4. 当A,B,C两两独立且有\(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)时,称A,B,C相互独立

随机变量

1. \(\forall e\in S\)我们设定一个实数x与之对应,记为\(X(e)\),再规定变量X,使$P\lbrace X=X(e)\rbrace =P\lbrace e\rbrace \(,则称X为随机变量(\)r.v$)
2. $P(B)=P\lbrace X(e)|e\in B\rbrace $

离散型随机变量与分布率类型

设X的所有可能取值为\(x_k,p_k\)为\(X=x_k\)的概率,设\(P\lbrace X=x_k\rbrace =p_k,k=1,2,3...\),称此为X的分布率.易知

\[pi\ge 0,\sum^n_{i=1} pi=1 \]

1. 二项分布
   若E只有A与!A两种结果,\(P(A)=p\),则称E为伯努利试验,重复进行n次E,E与E之间没有影响,记发生k次的A的概率为\(p_k\),X为k的随机变量.易知

   \[p_k=\binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]

   那么称

   \[P\lbrace X=k\rbrace =\binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,...n \]

   为伯努利分布(\(p_k\)也为\((p+1-p)^k\)含\(p^k\)的那一项).
   对于进行n次试验,\(P(A)=p\)的伯努利分布,我们称X为服从参数为n,p的二项分布,记为\(X\)~\(b(n,p)\).
   特别的,\(X\)~\(b(1,p)\)也叫做\((0-1)\)分布

2. 泊松分布
   若

   \[P\lbrace X=k\rbrace =\frac{\lambda ^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2... \]

   则称X为服从参数为\(\lambda\)的泊松分布,记为\(X\)~\(\pi(\lambda)\)
   那泊松分布是否满足分布率的性质?首先显然有\(p_k\ge 0\)
   其次

   \[\sum^\infty _{k=0} \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda} \sum^\infty_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!} \]

   根据麦克劳林公式:

   \[\sum^\infty_k=\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda \]

   可得

   \[\sum^\infty _{k=0} \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=1 \]

   当\(X\)~\(b(n,p)\)的n很大时,非常不好求,但根据如下式子(\(\lambda=np\)):

   \[\lim_{n\to \infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]

   我们可以泊松分布来逼近二项式分布,证明暂时咕掉
   hhhhhh