[概率] 概率论笔记

概率论学习

一些概念与约定符号

  • 随机试验:E
  • 样本点:E的一个可能结果
  • 样本空间:S(由E的所有样本点组成)
  • 事件:大写字母(S的子集)
  • 不可能事件:\(\emptyset\)(S的空集)
  • A的频数:\(n_A\)
  • A的概率:\(P(A)=n_A/n_S\)

事件关系

  1. 包含:若A发生B一定发生,则称B包含A,记为\(A\subset B\)
  2. 相等:若\(A\subset B\)\(B\subset A\),则A等于B,记为A=B
  3. 和事件:\(A\bigcup B\)称为A与B的和事件,当且仅当A或B发生时,A\(\bigcup\)B发生.n个\(A_i\)的并\(\bigcup^{n}_{i=1}A_i\)
  4. 积事件:\(A\bigcap B(AB)\)称为A与B的积事件,当且仅当A,B同时发生时,A\(\bigcap\)B发生.n个\(A_i\)的积\(\bigcap^{n}_{i=1} A_i\)
  5. 差事件:\(A-B\),当且仅当\(A\)发生,\(B\)不发生时\(A-B\)发生
  6. 互斥:若\(AB=\emptyset\),则A,B互斥
  7. 对立:若\(AB\)互斥且\(A\bigcup B=S\),则A,\(对立对立对立B对立,\)B=!A$

运算法则

  1. 交换率:咕

  2. 结合率:咕

  3. 分配率:(易错)
    \[ A\bigcup (BC)=(A\bigcup B)(A\bigcup C)\\ A(B\bigcup C)=(AB)\bigcup (AC) \]

  4. 摩根定律:
    \[ !(A\bigcup B)=!A!B\\ !(AB)=!A\bigcup!B \]

概率性质:

  1. 非负性

  2. 规范性

  3. 可列可加性

  4. 推论

    • \(P(\emptyset)=0\)

    • \(P(!A)=1-P(A)\)

    • \(A_1,A_2,A_3......A_n\)两两互斥,则\(P(\bigcup^{n}_{i=1}A_i)=\sum^n_{i=1}P(A_i)\)

    • \(B\subset A\),则\(P(A-B)=P(A)-P(B)\)

    • \(P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

    • 推广:设\(C=A\bigcup B\),则
      \[ P(C\bigcup D)=P(C)+P(D)-P(DC) \]

      \[ P((A\bigcup B)D)=P((AD)\bigcup (BD)) \]

      \[ P(DC)=P(AD)+P(BD)-P(ABD) \]
      代入可得
      \[ P(A\bigcup B\bigcup D)=P(A)+P(B)+P(D)-P(AB)-P(BD)-P(AD)+P(ABD) \]
      进一步可得
      \[ P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=(-1)^0\sum^n_{i=1}P(A_i)+(-1)^1\sum_{1\leq i<j \leq n}P(A_iA_j)......+(-1)^{n-1}P(\bigcap_{i=1}^nA_i) \]

古典概型

  1. 特点:1.\(S\)的元素个数有公式限 2.每个样本点(互斥)发生的可能性相同

  2. \(A\)包含k个样本点,\(S\)包含n个,则\(P(A)=k/n\)

  3. 经典问题

    • 生日悖论:随机取n个人,生日两两不同的概率为(\(\prod_{i=0}^{n-1}(365-i))/365^n\)

    • 超几何分布公式:有n个物品,其中有p个次品,现从n个物品中随机取出m个物品,则取出的物品中有k个次品的概率为
      \[ \binom{k}{p}*\binom{n-p}{m-k}/\binom{n}{m} \]

    • 抽签的公平性证明

条件概率

B在A发生的前提下发生,记为
\[ P(B|A)=n_{AB}/n_A=(n_{AB}/n_S)/(n_A/n_S)=P(AB)/P(A) \]

乘法定理

AB发生的概率有公式
\[ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) \]
推广:设\(D=AB,P(AD)=P(D)P(C|D)=P(B)P(A|B)P(C|AB)\)
更进一步有
\[ P(\bigcap_{i=1}^nA_i)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)......P(A_n|\bigcap_{i=1}^{n-1}A_i) \]

独立性

  1. 定义:当\(P(AB)=P(A)P(B)\)时,称A与B相互独立(注:独立与互斥没有关系)
  2. \(独立且独立且独立且A,B独立且P(B)>0\)独立,则有\(P(A|B)=P(A)\)
  3. \(独立则和也独立独立则和也独立独立则和也独立A,B独立,则A,!B和!A,!B也独立\).易证不证
  4. 当A,B,C两两独立且有\(P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\)时,称A,B,C相互独立

随机变量

  1. \(\forall e\in S\)我们设定一个实数x与之对应,记为\(X(e)\),再规定变量X,使$P\lbrace X=X(e)\rbrace =P\lbrace e\rbrace \(,则称X为随机变量(\)r.v$)
  2. $P(B)=P\lbrace X(e)|e\in B\rbrace $

离散型随机变量与分布率类型

设X的所有可能取值为\(x_k,p_k\)\(X=x_k\)的概率,设\(P\lbrace X=x_k\rbrace =p_k,k=1,2,3...\),称此为X的分布率.易知
\[ pi\ge 0,\sum^n_{i=1} pi=1 \]

  1. 二项分布
    若E只有A与!A两种结果,\(P(A)=p\),则称E为伯努利试验,重复进行n次E,E与E之间没有影响,记发生k次的A的概率为\(p_k\),X为k的随机变量.易知
    \[ p_k=\binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
    那么称
    \[ P\lbrace X=k\rbrace =\binom {n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,...n \]
    为伯努利分布(\(p_k\)也为\((p+1-p)^k\)\(p^k\)的那一项).
    对于进行n次试验,\(P(A)=p\)的伯努利分布,我们称X为服从参数为n,p的二项分布,记为\(X\)~\(b(n,p)\).
    特别的,\(X\)~\(b(1,p)\)也叫做\((0-1)\)分布

  2. 泊松分布

    \[ P\lbrace X=k\rbrace =\frac{\lambda ^ke^{-k}}{k!},k=0,1,2... \]
    则称X为服从参数为\(\lambda\)的泊松分布,记为\(X\)~\(\pi(\lambda)\)
    那泊松分布是否满足分布率的性质?首先显然有\(p_k\ge 0\)
    其次
    \[ \sum^\infty _{k=0} \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=e^{-\lambda} \sum^\infty_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!} \]
    根据麦克劳林公式:
    \[ \sum^\infty_k=\frac{\lambda^k}{k!}=e^\lambda \]
    可得
    \[ \sum^\infty _{k=0} \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}=1 \]
    \(X\)~\(b(n,p)\)的n很大时,非常不好求,但根据如下式子(\(\lambda=np\)):
    \[ \lim_{n\to \infty}\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
    我们可以泊松分布来逼近二项式分布,证明暂时咕掉
    hhhhhh

posted @ 2019-08-14 17:22  FlashiLizard  阅读(...)  评论(...编辑  收藏