算法分析思维分析,以循环赛日程表为例

第一步:分治法的简单思想

在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)等等。

任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小,越容易直接求解,解题所需的计算时间也越少。例如,对于n个元素的排序问题,当n=1时,不需任何计算。   n=2时,只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可,…。   而当n较大时,问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题,有时是相当困难的。   分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。   分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

第二步:分治法的理论基础

如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n ,且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。  

 

2.1分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:   

1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决   

2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。  

3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;   

4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。   上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。   

 

2.2分治法的基本步骤   

分治法在每一层递归上都有三个步骤:   

分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;   

解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。   

它的一般的算法设计模式如下:   

Divide-and-Conquer(P)   

1)if |P|≤n0   

2)then return(ADHOC(P))   

3)将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,...,Pk   

4)for i←1 to k   

5)do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi   

6)T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合并子问题   

7)return(T)   

其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解根据分治法的分割原则,原问题应该分为多少个子问题才较适宜?各个子问题的规模应该怎样才为适当?答: 但人们从大量实践中发现,在用分治法设计算法时,最好使子问题的规模大致相同。换句话说,将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。许多问题可以取 k = 2。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想,它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。   

分析:   由于顺序表的结构没有给出,作为演示分治法这里从简顺序表取一整形数组数组大小由用户定义,数据随机生成。我们知道如果数组大小为 1 则可以直接给出结果,如果大小为 2则一次比较即可得出结果,于是我们找到求解该问题的子问题即: 数组大小 <= 2。到此我们就可以进行分治运算了,只要求解的问题数组长度比 2 大就继续分治,否则求解子问题的解并更新全局解

 

第三步:问题的描述

假设有n=2k 个运动员要进行网球循环赛。设计一个满足一下要求的比赛日程表:

1. 每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次

2. 每个选手一天只能赛一次

3. 循环赛一共进行n-1天

 

第四步:算法设计

4.1文字描述

假设n位选手顺序编号为1,2,3……n,比赛的日程表是一个n行n-1列的表格。i行j列的表格内容是第i号选手在第j天的比赛对手。根据分而治之的原则,可从其中一半选手的比赛日程,导出全体n位选手的的日程,最终细分到只有两位选手的比赛日程出

4.2框图描述

4.3伪代码

public static void Table(int n,int[][]a)  {
	       int b  =  2;  
	       n  =  saicheng.x;//参赛人数
	       int  k=(int) (Math.log(n)/Math.log(b)); //计算输入值是2的几次幂
	       for(int i=1;i<=n;i++)
	       {
	           a[1][i]=i;//打印出第一行即选手1的赛程表
	       } 
	       int m=1;//控制每一次填充表格时i(i表示行)和j(j表示列)的起始填充位置
	       for(int s=1;s<=k;s++)
	       {
	            n/=2;//将问题分成k部分
	            for(int t=1;t<=n;t++)//对每一部分进行划分
	            {
	                for(int i=m+1;i<=2*m;i++)//控制行
	                {
	                    for(int j=m+1;j<=2*m;j++)//控制列
	                    {
	                        a[i][j +(t - 1) * m *2] = a[i - m][j + (t - 1) * m * 2 - m];//右下角等于左上角
	                        a[i][j + (t - 1) * m * 2 -m] = a[i - m][j + (t - 1) * m * 2];//左下角等于右上角
	                    }
	                }
	            }
	          m*=2;
	       }
	    }

五、详细设计及说明

  1.输入一个数字n,根据(x&(x-1))==0判断n是否等于2^k。不是则提示重新输入;是则利用换底公式k=(int)(Math.log(n)/Math.log(b))求出k.

    2.用一个for循环输出日程表的第一行

for(int i=1;i<=N;i++)

a[1][i] = i;

1

2

3

4

5

6

7

8

    图5-1

    3定义一个m值,m初始化为1,m用来控制每一次填充表格时i(i表示行)和j(j表示列)的起始填充位置。

    4.用一个for循环将问题分成几部分,对于k=3,n=8,将问题分成3大部分,第一部分为,根据已经填充的第一行,填写第二行,第二部分为,根据已经填充好的第一部分,填写第三四行,第三部分为,根据已经填充好的前四行,填写最后四行。

for (int s=1;s<=k;s++)

N/=2;

    5.用一个for循环对4中提到的每一部分进行划分

for(int t=1;t<=N;t++)

对于第一部分,将其划分为四个小的单元,即对第二行进行如下划分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

图5-2

同理,对第二部分(即三四行),划分为两部分,第三部分同理

    6.最后,进行每一个单元格的填充。填充原则是:对角线填充

for(int i=m+1;i<=2*m;i++)   //i控制行          

    for(int j=m+1;j<=2*m;j++)  //j控制列           

    { 

        a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */ 

        a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */

         } 

例:由初始化的第一行填充第二行

表5-1

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

4

3

6

5

8

7

进行第二部分的填充

表5-2

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

4

3

6

5

8

7

3

4

1

2

7

8

5

6

4

3

2

1

8

7

6

5

最后是第三部分的填充

表5-3

1

2

3

4

5

6

7

8

2

1

4

3

6

5

8

7

3

4

1

2

7

8

5

6

4

3

2

1

8

7

6

5

5

6

7

8

1

2

3

4

6

5

8

7

2

1

4

3

7

8

5

6

3

4

1

2

8

7

6

5

4

3

2

1

 第七步:总结

根据分治算法,将本问题进行了由小规模到大规模的求解设计,程序设计的关键点在于如何对问题进行划分和填充公式的归纳。在划分时,主要运用了两个for循环;在填充时,运用了两个for循环。通过这次程序设计,加深了对分治算法的认识。解决具体问题时,程序故重要,但一个好的算法更加重要。不足之处即花费了很长时间来推导这个算法,对算法掌握还不够熟练。

 

 分析一个复杂问题,可以按照这七步,逐步求解。

 

 

 

 

posted @ 2013-04-12 21:32  李VS超  阅读(3696)  评论(0编辑  收藏  举报