有一种树叫做线段树,有一种数组叫做树状数组

近日受到微软编程之美大赛第二题和hdu一些题目变态般的大数据的刺激,而且老是听到群里的一些大神讲什么线段树,树状数组,分桶法呀等等一系列不明觉厉的东西,花了几天好好看了下线段树和树状数组,下面我来分享一些,我的心得和感悟,如有不足之处欢迎大神们前来狂喷。

微软编程之美初赛第一场树题解http://blog.csdn.net/asdfghjkl1993/article/details/24306921

线段树和树状数组都是一种擅长处理区间的数据结构。它们间最大的区别之一就是线段树是一颗完美二叉树,而树状数组(BIT)相当于是线段树中每个节点的右儿子去掉。

如图:

线段树

 

 

树状数组:

 

 

树状数组一般适用于三类问题:

1,修改一个点求一个区间

2,修改一个区间求一个点

3,求逆序列对

 

而用树状数组能够解决的问题,用线段树肯定能够解决,反之则不一定。但是树状数组有一个明显的好处就是较为节省空间,实现要比线段树要容易得多,而且在处理某些问题的时候使用树状数组效率反而会高得多。 昨天看到某位大牛在博客上也留下了这样一句话,线段树擅长处理横向区间的问题,树状数组擅长处理纵向区间的问题,可能由于水平有限,暂时还木有体会到这一点。。。。忧伤。。。

 

下面我们来看两道比较基础的线段树模板题

 

首先是点修改的:

 

一次修改一个点,然后查询最大值还有和:

 

 1 void update(int u,int v,int o,int l,int r)
 2 
 3 {
 4 
 5 int m=(l+r)/2;
 6 
 7 if(l==r)
 8 
 9 {
10 
11 maxv[o]=v;
12 
13 sum[o]=v;
14 
15 }
16 
17 else
18 
19 {
20 
21 if(u<=m)
22 
23 update(u,v,o*2,l,m);
24 
25 else
26 
27 update(u,v,o*2+1,m+1,r);
28 
29 maxv[o]=max(maxv[o*2],maxv[o*2+1]);
30 
31 sum[o]=sum[o*2]+sum[o*2+1];
32 
33 }
34 
35 }
36 
37 int query_sum(int ql,int qr,int o,int l,int r)
38 
39 {
40 
41 int m=(l+r)/2;
42 
43 if(ql<=l&&r<=qr)
44 
45 return sum[o];
46 
47 if(ql<=m)
48 
49 return query_sum(ql,qr,o*2,l,m);
50 
51 if(m<qr)
52 
53 return query_sum(ql,qr,o*2+1,m+1,r);
54 
55 }
56 
57 int query_max(int ql,int qr,int o,int l,int r)
58 
59 {
60 
61 int m=(l+r)/2,ans=-1;
62 
63 if(ql<=l&&r<=qr)
64 
65 return maxv[o];
66 
67 if(ql<=m)
68 
69 return max(ans,query_max(ql,qr,o*2,l,m));
70 
71 if(m<qr)
72 
73 return max(ans,query_max(ql,qr,o*2+1,m+1,r));
74 
75 }

 


 

 

然后是区间修改的:

 

Uva11992这道题是刘汝佳厚白书中的例题

题目链接:http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=3143

大意为对一个矩阵进行操作,选择其中子矩阵(x1,y1,x2,y2)可以让它每个元素增加v

也可以让它每个元素等于v,也可以查询这个子矩阵的元素和,最小值,最大值。

解决方法当然是线段树,不过对于这棵线段树的update,对于set操作要请除节点上的

Addv标记,但对于add操作不清楚setv标记,在maintain函数中先考虑setv再考虑addv

而在query中要综合考虑setv和addv.

  1 #include<iostream>
  2 
  3 #include<cstdio>
  4 
  5 #include<cstring>
  6 
  7 #include<algorithm>
  8 
  9 using namespace std;
 10 
 11  
 12 
 13 const int maxnode = 1<<17;
 14 
 15  
 16 
 17 int _sum, _min, _max, op, x1, x2, y1, y2, x, v;
 18 
 19  
 20 
 21 class IntervalTree {
 22 
 23   int sumv[maxnode], minv[maxnode], maxv[maxnode], setv[maxnode], addv[maxnode];
 24 
 25  
 26 
 27   // 维护节点o
 28 
 29   void maintain(int o, int L, int R) {
 30 
 31     int lc = o*2, rc = o*2+1;
 32 
 33     if(R > L) {
 34 
 35       sumv[o] = sumv[lc] + sumv[rc];
 36 
 37       minv[o] = min(minv[lc], minv[rc]);
 38 
 39       maxv[o] = max(maxv[lc], maxv[rc]);
 40 
 41     }
 42 
 43     if(setv[o] >= 0) { minv[o] = maxv[o] = setv[o]; sumv[o] = setv[o] * (R-L+1); }
 44 
 45     if(addv[o]) { minv[o] += addv[o]; maxv[o] += addv[o]; sumv[o] += addv[o] * (R-L+1); }
 46 
 47   }
 48 
 49  
 50 
 51   //标记传递
 52 
 53   void pushdown(int o) {
 54 
 55     int lc = o*2, rc = o*2+1;
 56 
 57     if(setv[o] >= 0) {
 58 
 59       setv[lc] = setv[rc] = setv[o];
 60 
 61       addv[lc] = addv[rc] = 0;
 62 
 63       setv[o] = -1; // 清楚标记
 64 
 65     }
 66 
 67     if(addv[o]) {
 68 
 69       addv[lc] += addv[o];
 70 
 71       addv[rc] += addv[o];
 72 
 73       addv[o] = 0; // Çå³ý±¾½áµã±ê¼Ç
 74 
 75     }
 76 
 77   }
 78 
 79  
 80 
 81   void update(int o, int L, int R) {
 82 
 83     int lc = o*2, rc = o*2+1;
 84 
 85     if(y1 <= L && y2 >= R) { // 在区间内
 86 
 87       if(op == 1) addv[o] += v;
 88 
 89       else { setv[o] = v; addv[o] = 0; }
 90 
 91     } else {
 92 
 93       pushdown(o);
 94 
 95       int M = L + (R-L)/2;
 96 
 97       if(y1 <= M) update(lc, L, M); else maintain(lc, L, M);
 98 
 99       if(y2 > M) update(rc, M+1, R); else maintain(rc, M+1, R);
100 
101     }
102 
103     maintain(o, L, R);
104 
105   }
106 
107  
108 
109   void query(int o, int L, int R, int add) {
110 
111     if(setv[o] >= 0) {
112 
113       int v = setv[o] + add + addv[o];
114 
115       _sum += v * (min(R,y2)-max(L,y1)+1);
116 
117       _min = min(_min, v);
118 
119       _max = max(_max, v);
120 
121     } else if(y1 <= L && y2 >= R) {
122 
123       _sum += sumv[o] + add * (R-L+1);
124 
125       _min = min(_min, minv[o] + add);
126 
127       _max = max(_max, maxv[o] + add);
128 
129     } else {
130 
131       int M = L + (R-L)/2;
132 
133       if(y1 <= M) query(o*2, L, M, add + addv[o]);
134 
135       if(y2 > M) query(o*2+1, M+1, R, add + addv[o]);
136 
137     }
138 
139   }
140 
141 };
142 
143  
144 
145 const int maxr = 20 + 5;
146 
147 const int INF = 1000000000;
148 
149  
150 
151 IntervalTree tree[maxr];
152 
153  
154 
155 int main() {
156 
157   int r, c, m;
158 
159   while(scanf("%d%d%d", &r, &c, &m) == 3) {
160 
161     memset(tree, 0, sizeof(tree));
162 
163     for(x = 1; x <= r; x++) {
164 
165       memset(tree[x].setv, -1, sizeof(tree[x].setv));
166 
167       tree[x].setv[1] = 0;
168 
169     }
170 
171     while(m--) {
172 
173       scanf("%d%d%d%d%d", &op, &x1, &y1, &x2, &y2);
174 
175       if(op < 3) {
176 
177         scanf("%d", &v);
178 
179         for(x = x1; x <= x2; x++) tree[x].update(1, 1, c);
180 
181       } else {
182 
183         _sum = 0; _min = INF; _max = -INF;
184 
185         for(x = x1; x <= x2; x++) tree[x].query(1, 1, c, 0);
186 
187         printf("%d %d %d\n", _sum, _min, _max);
188 
189       }
190 
191     }
192 
193   }
194 
195   return 0;
196 
197 }

 


 

再来看看树状数组的

 

先来个改点求区间的

看看hdu1161

题目链接:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166

题目大意:给n个初始数据构建一棵树状数组,然后进行查询求和等一些列操作。

标准模板题,不解释。

 

  1 #include<iostream>
  2 
  3 #include<algorithm>
  4 
  5 #include<cstring>
  6 
  7 #include<cstdio>
  8 
  9 #include<cmath>
 10 
 11 using namespace std;
 12 
 13 const int MAX=50005;
 14 
 15 int N;
 16 
 17 class BIT
 18 
 19 {
 20 
 21 private:
 22 
 23     int bit[MAX];
 24 
 25     int lowbit(int t)
 26 
 27     {
 28 
 29         return t&-t;
 30 
 31     }
 32 
 33 public:
 34 
 35     BIT()
 36 
 37     {
 38 
 39         memset(bit,0,sizeof(bit));
 40 
 41     }
 42 
 43     int sum(int i)
 44 
 45     {
 46 
 47         int s=0;
 48 
 49         while(i>0)
 50 
 51         {
 52 
 53             s+=bit[i];
 54 
 55             i-=lowbit(i);
 56 
 57         }
 58 
 59         return s;
 60 
 61     }
 62 
 63     void add(int i,int v)
 64 
 65     {
 66 
 67         while(i<=N)
 68 
 69         {
 70 
 71             bit[i]+=v;
 72 
 73             i+=lowbit(i);
 74 
 75         }
 76 
 77     }
 78 
 79 };
 80 
 81 int main()
 82 
 83 {
 84 
 85     int T;
 86 
 87     while(cin>>T)
 88 
 89     {
 90 
 91         for(int t=1;t<=T;t++)
 92 
 93         {
 94 
 95             printf("Case %d:\n",t);
 96 
 97             cin>>N;
 98 
 99             BIT tree;
100 
101             for(int i=1;i<=N;i++)
102 
103             {
104 
105                 int x;
106 
107                 cin>>x;
108 
109                 tree.add(i,x);
110 
111             }
112 
113             char ord[15];
114 
115             while(scanf("%s",ord)&&strcmp(ord,"End"))
116 
117             {
118 
119                 int a,b;
120 
121                 scanf("%d%d",&a,&b);
122 
123                 switch(ord[0])
124 
125                 {
126 
127                 case 'Q':
128 
129                     printf("%d\n",tree.sum(b)-tree.sum(a-1));
130 
131                     break;
132 
133                 case 'A':
134 
135                     tree.add(a,b);
136 
137                     break;
138 
139                 case 'S':
140 
141                     tree.add(a,-b);
142 
143                     break;
144 
145                 }
146 
147             }
148 
149         }
150 
151     }
152 
153     return 0;
154 
155 }
View Code

 


 

再看一道修改区间,然后单点查询的

看hdu 1556

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1556

N个气球排成一排,从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了,你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗?

 

这题是修改区间的,单点查询的,则要注意一点 先对左区间进行操作add(a,1),然后对右边区间进行操作add(b+1,-1),把不该修改的那部分值再修改回来,即实现了对一个区间的值的修改。然后通过sum(i),即可求点(如果有人问为什么是sum(i)而不是bit[i]呢?我只能说你太天真了。。。。自己再纸上画画就能知道。。。。)

 

  1 #include<iostream>
  2 
  3 #include<algorithm>
  4 
  5 #include<cstdio>
  6 
  7 #include<cstring>
  8 
  9 using namespace std;
 10 
 11 const int MAX=100001;
 12 
 13 int N;
 14 
 15 class BIT2
 16 
 17 {
 18 
 19 private:
 20 
 21     int bit[MAX];
 22 
 23     int lowbit(int t)
 24 
 25     {
 26 
 27         return t&-t;
 28 
 29     }
 30 
 31 public:
 32 
 33     BIT2()
 34 
 35     {
 36 
 37         memset(bit,0,sizeof(bit));
 38 
 39     }
 40 
 41     int add(int i,int v)
 42 
 43     {
 44 
 45         while(i<=N)
 46 
 47         {
 48 
 49             bit[i]+=v;
 50 
 51             i+=lowbit(i);
 52 
 53         }
 54 
 55     }
 56 
 57     int sum(int i)
 58 
 59     {
 60 
 61         int s=0;
 62 
 63         while(i>0)
 64 
 65         {
 66 
 67             s+=bit[i];
 68 
 69             i-=lowbit(i);
 70 
 71         }
 72 
 73         return s;
 74 
 75     }
 76 
 77 };
 78 
 79 int main()
 80 
 81 {
 82 
 83     while(cin>>N&&N)
 84 
 85     {
 86 
 87         int a,b;
 88 
 89         BIT2 tree;
 90 
 91         for(int i=1;i<=N;i++)
 92 
 93         {
 94 
 95             scanf("%d%d",&a,&b);
 96 
 97             tree.add(a,1);
 98 
 99             tree.add(b+1,-1);
100 
101         }
102 
103         for(int i=1;i<=N;i++)
104 
105         {
106 
107             if(i!=1) cout<<" ";
108 
109             printf("%d",tree.sum(i));
110 
111         }
112 
113         cout<<endl;
114 
115     }
116 
117     return 0;
118 
119 }
120 
121  
View Code

 

 

再看一道二维的

Hdu1892

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1892

 

跟一维主要的区别

 1 void init()
 2 
 3 {
 4 
 5     for(int i=1;i<MAX;i++)
 6 
 7         for(int j=1;j<MAX;j++)
 8 
 9         {
10 
11             d[i][j]=1;
12 
13             c[i][j]=lowbit(i)*lowbit(j);
14 
15         }
16 
17 }
18 
19 int sum(int i,int j)
20 
21 {
22 
23     int tot=0;
24 
25     for(int x=i;x>0;x-=lowbit(x))
26 
27         for(int y=j;y>0;y-=lowbit(y))
28 
29         {
30 
31             tot+=c[x][y];
32 
33         }
34 
35     return tot;
36 
37 }
38 
39 void add(int i,int j,int v)
40 
41 {
42 
43     for(int x=i;x<MAX;x+=lowbit(x))
44 
45         for(int y=j;y<MAX;y+=lowbit(y))
46 
47         {
48 
49             c[x][y]+=v;
50 
51         }
52 
53 }
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posted on 2014-04-24 18:01  东南枝DP  阅读(3949)  评论(1编辑  收藏

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