20152016-acmicpc-neerc-northern-subregional-contest J：Journey to the "The World's Start"（单调队列+DP+二分）

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题意：给出n-1张不同的票，票价分别为 pi，每张票每次最多可以坐 r 个站（1<=r<n），并且票是可以无限用并且只能买一张，如果坐到限定的距离了，要出站再重新进站，这里要花费 di 的时间（2<=i<=n-1），并且每坐一个站花费 1 min，一个人坐地铁要从第一个站坐到最后一个站，问在规定时间 t 里面可以买到的最低票价是多少。

思路：首先可以确定的是，我们对票价都要进行一次DP，我自己推出的方程是dp[i] = min(dp[i], (dp[i-j] + j) + time[i]),（1<=j<=r），接着发现无论怎么样，那个人肯定要坐 n-1 个站，所以直接让 t 减去 n - 1，然后方程变成dp[i] = min(dp[i], dp[i-j]+time[i])，这样的话DP时间复杂度还是O（n^2）。

由于是 f[k] + g[i] 型的 dp（只有形如 dp[i]=max/min (f[k]) + g[i]  （k<i && g[i]是与k无关的变量）才能用到单调队列进行优化。），我们可以使用单调队列来优化这个DP，化成dp[i] = min(dp[i], dp[que[head]] + time[i])这样的形式。这样优化之后时间复杂度就直接变成了O（n）了。

只有这样还是不够的，因为我们要枚举每种票，通过题意可以发现每种票的距离 r 是递增的，因此我们可以通过二分搜索来枚举，这样复杂度就变成了O（nlogn）了，还有一点就是可能一种票的路程比搜索出来的临界值大，但是价格较小，我们应该枚举一下后面的取较小者。

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#include <cstdlib>
typedef long long LL;
using namespace std;
#define N 50005
#define INF 0x3f3f3f3f3f
//单调队列优化DP + 二分搜索
LL price[N];
LL time[N];
LL dp[N];
int que[N];
int n, t;

bool solve(int r)
{
    if(r == 0) return false;
    dp[1] = 0;
    int head = 1, tail = 0;
    que[++tail] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[que[head]] + time[i];
        // 如果队尾的时间大于当前时间，就删除，然后把当前的站插入
        while(head <= tail && dp[que[tail]] >= dp[i])
            tail--;
        que[++tail] = i;
        // 当前距离和之前的距离不能超过 r
        while(head <= tail && i - que[head] >= r)
            head++;
    }
    if(dp[n] > t) return false;
    return true;
}

int main()
{
//    freopen("journey.in", "r", stdin);
//    freopen("journey.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d", &n, &t);
    for(int i = 1; i < n; i++)
        scanf("%I64d", &price[i]);
    for(int i = 2; i <= n-1; i++)
        scanf("%I64d", &time[i]);
    //总共坐n-1个站要n-1 min
    t -= n-1;
    int l = 0, r = n - 1;
    while(l <= r) {
        int mid = (l+r) / 2;
        if(solve(mid)) {
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }

    int ans = price[l];
    for(int i = l + 1; i < n; i++)
        if(price[i] < ans) ans = price[i];

    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}