八人过桥问题和四人过桥问题

 

有八个人携一手电过一独木桥，他们单人的过桥时间分别为1分钟、4分钟、5分钟、6分钟、7分钟、8分钟、9分钟和10分钟。一次只能同时通过两人，且以速度慢的人所需时间为通过时间；每次过桥必须携带手电照明，且手电不能扔过桥，即过桥后必须有人把手电送回桥这边。请问：八人都通过最少需要多少分钟？
   （为了方便，建议把这八个人分别记为A1、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10；或者索性就用1、4、5、6、7、8、9、10表示这八个人，只要你自己不混淆的话。）

解答 “八人过桥题”

一 解答“四人过桥”是基础
     解答“四人过桥”有两种思路，一种是让过桥“最快”的人充当送手电回来的人；另一种是让“最慢”和“次慢”的两个人一起过。这样，减少了“次慢”的人所用的时间，但增加了需要“次快”的人充当送手电回来的人

二 把“八人过桥”分解为“四人过桥”

   把“A1、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10过桥”分解为三个“四人过桥”，即“A1、A4、A9、A10过桥”、“A1、A4、A7、A8过桥”和“A1、A4、A5、A6过桥”。
     对这三个“四人过桥”问题分别运用“判别法”正确选用第一种方法或第二种方法解之即可。

三 “八人过桥题”解答
   1 “A1、A4、A9、A10过桥”（实际上只是“送A9、A10过去”），用第二种方法：   
       A1、 A4过， 4分钟；A1回，1分钟。
       A9、A10过，10分钟；A4回，4分钟。共19分钟。
    2 “A1、A4、A7、A8过桥”，用哪种方法都可以，如果用第一种方法，可以与“A1、A4、A5、A6过桥”（必须用第一种方法） 合并解答，即“A1、A4、A5、A6、A7、A8过桥”：
       A1、A8过，8分钟；A1回，1分钟。
       A1、A7过，7分钟；A1回，1分钟。
       A1、A6过，6分钟；A1回，1分钟。
       A1、A5过，5分钟；A1回，1分钟。
   最后A1、A4过，4分钟。             共34分钟。
    八人全部过去至少用的时间为：19+34=53（分钟）

解“过桥题”随想

一   给出答案可“逼”我们开拓思路
     事实证明，如果“四人过桥”问题只问“最少要多少分钟？”多数人甚至大多数人的答案是19分钟还自以为对。而如果问“怎样用17分钟让四个人过桥”，这才“逼”我们开拓思路，另辟蹊径，有的人终得其解，但有些人仍始终存疑，直到告诉他才“恍然大悟”。

二 解题应该找出“一般”结论
   解应该学会“从具体到一般”，就是说改了数字后，你是否也仍从容解之。更一般地，用字母代替数字后你会不会处理。这是从“算术”到“代数”的飞跃，是一个人数学能力提高的一道“坎”
三 要考虑能否推广、如何推广
  “四人过桥”问题解出来了，明白了其中的一些道理，那么“五人过桥”问题、“八人过桥”问题、甚至“一百人过桥”问题怎么解？
   又如，如果改成“一次三个人过”又是什么情况？
四 简化表述
   第一种思路的要点是： 让过桥最快的A充当回来送手电的人。具体情况是：
       第一次： A、B过桥， 需 2分钟, A返回，需1分钟；      
       第二次： A、C过桥， 需 5分钟，A返回，需1分钟；     
       第三次： A、D过桥， 需10分钟， 以上共计19分钟.至此，四人都通过。

   第二种思路的要点是：让过桥第二慢的C与最慢的D一起过桥，这样就节省了相当可观的5分钟。

第一次： A、B过桥，需 2分钟, A返回(B还在桥那边），需1分钟；    
       第二次： C、D过桥，需10分钟，B返回，需2分钟；
       第三次： A、B过桥，需 2分钟，以上共计17分钟.至此，四人都通过。

到底用哪一种方法用时更少？难道还要用两种方法都算出来后才能知道？当然不必。下面给出判别法。

    为叙述和阅读方便，将A、B、C、D所用时间分别记作：a、b、c、d,并且a≤b≤c≤d。那么，用第一种方法所用的时间为2a+b+c+d；用第二种方法所用的时间a+3b+d（具体过程请你自己做）.              

    因为两种方法所用的时间之差为：（2a+b+c+d）-(a+3b+d)=a-2b+c，
    所以： 当a-2b+c＜0，即2b＞a+c时，用第一种方法比用第二种解法所用的时间少，少了2b-a-c;
           当a-2b+c＝0，即2b＝a+c时，两种方法所用的时间一样；
           当a-2b+c＞0, 即a+c＞2b时，用第一种方法比用第二种解法所用的时间多，多了a+c-2b.