背包问题

n表示物品的个数，weight[i]表示第i件物品的重，value[i]表示第i件物品的价值
V为背包容量，s[]存放最优解

一：01背包：
每件物品只有一个，只能选或者不选

for( i = 0 ; i < n ; i++)
{
 for( j = V ; j >= weight[i] ; j--)
 {
  s[j] = Max(s[j],s[j-weight[i]]+value[i]);
 }
}

二：完全背包：
每件物品有无限个

初始化时要注意：
如果要求恰好装满背包，那么在初始化时除了s[0]为0其它s[1..V]均设为-∞（求的是最大解，如果求的是最小解，则为∞） 
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将s[0..V]全部设为0。

for( i = 0 ; i < n ; i++){
 　　for( j = weight[i] ; j <= V ;j++){
  　　　　s[j] = Max(s[j], s[ j - weight[i] ] + value[i] );
 　　}
}

三：多重背包：
每件物品的个数为count[i]个

多重背包模板

#include <cstdio>
#include <memory.h>

 

int V,dp[100000];

 

inline int max(int a,int b)
{
    return a>b ? a : b;
}

 

void ZeroOnePack(int val,int vol)
{
    for(int v=V;v>=vol;v--)
    dp[v]=max(dp[v],dp[v-vol]+val);
}

 

void CompletePack(int val,int vol)
{
    for(int v=vol;v<=V;v++)
    dp[v]=max(dp[v],dp[v-vol]+val);
}

 

void MultiplePack(int val,int vol,int num)
{
    int cnt;
    if(vol*num>=V) CompletePack(val,vol);
    else
    {
        cnt=1;
        while(cnt<num)
        {
            ZeroOnePack(val*cnt,vol*cnt);
            num-=cnt;
            cnt+=cnt;
        }
    }
    ZeroOnePack(val*num,vol*num);
}

四：混合背包：

以上三种背包的混合，有的物品只能取一次，有的物品能取无限次，有的物品能取有限次

五：二维背包：

每件物品要话费两重的代价，比如我们先前考虑重量加上体积或者总物品的个数等等

初始化的问题：

如果是要求恰好装满背包，那么在初始化时除了s[0]为0其它s[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的s[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。
初始化的s数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可 能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

for( i = 0 ; i <= v ; i++){
   　　s[i][0] = 0;
   　　for( j = 1 ; j <= m ; j++){
    　　　　s[i][j] = -1;
   　　}
 }
 for( i = 0 ; i < n ; i++){
   　　for( j = v ; j >= weight[i] ; j--){
   　　　　for( k = m ; k > 0 ; k--){
     　　　　　　if( s[j-weight[i]][k-1] != -1 ){
      　　　　　　　　s[j][k] = Max(s[j][k],s[j-weight[i]][k-1]+value[i]);
     　　　　　　}
    　　　　}
   　　}
  }

六：分组背包：

有n件物品，分为若干组，每组中只能选择一件物品，问可以得到的最大价值

for( i = 0 ; i < n ; i++)  //从第0组到n-1组
  {
   　　for( k = v ; k >= 0 ; k--)  
   　　{
   　　　　 for( j = 1 ; j <= count[i] ; j++ ) //count[i] 表示第i组的个数，j表示i组中的第几个
   　　　　 {
    　　　　　　 if( k >= weight[i][j] )
     　　　　　　　　 s[k] = Max(s[k] , value[i][j] + s[ k-weight[i][j] ] );
    　　　　}
   　　}
  }