Weinberg 场论 Chap. 3 学习笔记

Weinberg 场论 Chap. 3 学习笔记

Fenyutanchan WU [toc]

一、无相互作用多粒子态

  我们考虑的是有相互作用的场论，并且作这样一个假设，相互作用仅在有限的时空间隔处发生，在无穷久的过去，系统足够分散以至于各部分之间不存在相互作用，以及无穷久的将来，系统亦足够分散以至于各部分之家也不存在相互作用。根据Weinberg场论第二章精神，我们可以定义所谓的无相互作用多粒子态作为我们讨论的开始。定义无相互作用多粒子态为多个单粒子态的直积，记为

\[\Psi_{p_1,\sigma_1,n_1;p_2,\sigma_2,n_2;\cdots}=\Psi_{p_1,\sigma_1,n_1}\Psi_{p_2,\sigma_2,n_2}\cdots\label{1.1}\tag{1.1} \]

其中，下标\(p\)代表粒子的4-动量，下标\(\sigma\)代表粒子的自旋第三分量(for massive particle)或螺旋度(helicity, for massless particle)，下标\(n\)代表粒子种类。根据第二章讨论过的非齐次Lorentz群的表示理论，我们有这样一个公式

\[U(\bar\Lambda,\bar a)U(\Lambda,a)=U(\bar\Lambda\Lambda,\bar\Lambda a+\bar a)\label{1.2}\tag{1.2} \]

从而有

\[U(\Lambda,a)=U(1,a)U(\Lambda,0)\label{1.3}\tag{1.3} \]

再利用第二章给过的单粒子态\(\Psi_{p,\sigma}\)在Lorentz变换下可以表示为

\[\begin{aligned} U(\Lambda,a)\Psi_{p,\sigma}=&U(1,a)U(\Lambda,0)\Psi_{p,\sigma}\\ =&U(1,a)\sqrt{\frac{\left(\Lambda p\right)^0}{p^0}}\sum_{\sigma^\prime}D_{\sigma^\prime\sigma}\left(W(\Lambda,p)\right)\Psi_{\Lambda p,\sigma^\prime}\\ =&\exp\left[-ia_\mu(\Lambda p)^\mu\right]\sqrt{\frac{\left(\Lambda p\right)^0}{p^0}}\sum_{\sigma^\prime}D_{\sigma^\prime\sigma}\left(W(\Lambda,p)\right)\Psi_{\Lambda p,\sigma^\prime} \end{aligned}\label{1.4}\tag{1.4} \]

此式具体情况请查阅Weinberg第二章。我们利用这个式子，自然可以导出无相互作用多粒子态\(\Psi_{p_1,\sigma_1,n_1;p_2,\sigma_2,n_2;\cdots}\)在Lorentz变换下有

\[\begin{aligned} U&(\Lambda,a)\Psi_{p_1,\sigma_1,n_1;p_2,\sigma_2,n_2;\cdots}=\exp\left[-ia_\mu\left((\Lambda p_1)^\mu+(\Lambda p_2)^\mu+\cdots\right)\right]\\ &\times\sqrt{\frac{\left(\Lambda p_1\right)^0\left(\Lambda p_2\right)^0\cdots}{p_1^0p_2^0\cdots}}\sum_{\sigma_1^\prime\sigma_2^\prime\cdots}D^{(j_1)}_{\sigma_1^\prime\sigma_1}\left(W(\Lambda,p_1)\right)D^{(j_2)}_{\sigma_2^\prime\sigma_2}\left(W(\Lambda,p_2)\right)\cdots\\ &\times\Psi_{\Lambda p_1,\sigma_1^\prime,n_1;\Lambda p_2,\sigma_2^\prime,n_2;\cdots} \end{aligned}\label{1.5}\tag{1.5} \]

依照Weinberg第二章的精神，我们自然可以定义两个无相互作用多粒子态的内积为

\[\begin{aligned} &\left(\Psi_{p_1^\prime,\sigma_1^\prime,n_1^\prime;p_2^\prime,\sigma_2^\prime,n_2^\prime;\cdots},\Psi_{p_1,\sigma_1,n_1;p_2,\sigma_2,n_2;\cdots}\right) \\ =&\delta^3(\vec p^\prime_1-\vec p_1)\delta_{\sigma^\prime_1\sigma_1}\delta_{n_1^\prime n_1}\delta^3(\vec p^\prime_2-\vec p_2)\delta_{\sigma^\prime_2\sigma_2}\delta_{n_2^\prime n_2}\cdots \\ &\pm\text{permutations} \end{aligned}\label{1.6}\tag{1.6} \]

其中，permutations是指全同粒子交换带来的一些排列项，正负号自然来源于全同Bosons与全同Fermions对应的不同统计带来的符号问题，若把上式归一化，还需要额外地除以排列数，我们假定已经完成了这个操作。上述表述实在过于繁琐，我们引入这样一个简写

\[\Psi_\alpha:=\Psi_{p_1,\sigma_1,n_1;p_2,\sigma_2,n_2;\cdots}\label{1.7}\tag{1.7} \]

并将(\(\ref{1.6}\))式简写为

\[(\Psi_{\alpha^\prime},\Psi_\alpha)=\delta(\alpha^\prime-\alpha)\label{1.8}\tag{1.8} \]

额外地，我们再定义这样一个表达式

\[\int d\alpha\cdots:=\sum_{n_1\sigma_1n_2\sigma_2\cdots}\int d^3\vec p_1 d^3\vec p_2\cdots\label{1.9}\tag{1.9} \]

完备关系利用(1.9)式可以定义为

\[\Psi=\int d\alpha\ \Psi_\alpha(\Psi_\alpha,\Psi)\label{1.10}\tag{1.10} \]

我们指出，这是一个可数无穷多个Hilbert空间的直积空间中的完备关系，而(\(\ref{1.8}\))式正是这个空间中的正交归一关系，这样我们就得到了这个空间中的一组正交归一完备基。这组基还有一个特殊的关系，为考虑这个关系，我们重新回到(\(\ref{1.5}\))式，不妨令\(\Lambda\equiv1,\ a^\mu=(\tau,\vec 0)\)，则(\(\ref{1.5}\))式给出\(U(1,a)\Psi_\alpha=\exp(iH\tau)\Psi_\alpha\)，显然\(\Psi_\alpha\)因该是\(H\)的本征态，即

\[H\Psi_\alpha=E_\alpha\Psi_\alpha\label{1.11}\tag{1.11} \]

其中

\[E_\alpha=(p_1)^0+(p_2)^0+\cdots\label{1.12}\tag{1.12} \]

这明确地告诉问我们，这完全是无相互作用下的情形。本节的讨论作为有相互作用时候的一个基础。下面，我们将根据无相互作用多粒子态定义散射理论中两个重要的渐近态——“入”态和“出”态。

二、“入”态("in" state)与“出”态("out" state)

  我们现在着手讨论两个重要的渐近态——“入”态与“出”态。讨论之前，我们先明确我们讨论的系统的Hamilton量是怎样的。首先，我们自然可以写下一个无相互作用系统的Hamilton量，记为\(H_0\)，我们考虑的有相互作用的系统对应的Hamilton量自然能希望它可以写成无相互作用系统Hamilton量\(H_0\)加上一个相互作用项\(V\)，即

\[H=H_0+V\label{2.1}\tag{2.1} \]

  考虑这样一件事情，散射过程中必然伴随着制备大量足够分散以至于无相互作用的单粒子态，它们自然可以构造成所谓的无相互作用多粒子态，正如(\(\ref{1.1}\))式所刻画的那样。它们是如此的分散，以至于它们内部的相互作用可以忽略，然后随着时间的演化，它们在某个极小的时空间隔内发生了相互作用，但我们并不具体的知道这个相互作用的细节，至少在高能粒子对撞实验上，我们目前没有手段直接观测这个极小时间间隔内的细节。幸好，它们发生相互作用后还能继续沿着时间演化，并且经过无穷久的时间后，我们期待它们离相互作用发生区已经足够的远，它们内部的相互作用也因它们重新分散而逐渐变得可以忽略，这时候我们就可以有手段探测这时候系统的状态。因此，在一个散射过程中，我们能确定的系统状态仅有两个，一个是时间轴上无穷久之前的状态，因为我们制备了它，另一个则是时间轴上无穷久之后的状态，因为我们有手段去观测它。

  这两个状态一般来讲，是可以用无相互作用系统来进行描述的。将\(t\rightarrow-\infty\)时系统的状态称为“入”态，根据约定将其记为\(\Psi_\alpha^+\)，自然将\(t\rightarrow+\infty\)时系统的状态称为“出”态，根据约定将其记为\(\Psi_\alpha^-\)。这里我们指出，这里定义的“入”态与“出”态，是系统Hamilton量\(H\)的本征态

\[H\Psi_\alpha^\pm=E_\alpha\Psi^\pm_\alpha\label{2.2}\tag{2.2} \]

我们还要指出的是，我们采取的是Heisenberg表象，在这个表象下面，态本身作为描述系统状态的量是不随时空坐标的改变而改变的，除非系统发生了改变。但不同的观者在观察这个系统的时候，我们发现，它自然的发生了一个幺正变换，即

\[\Psi_\alpha^{\pm\prime}=U(\Lambda,a)\Psi_\alpha^\pm\label{2.3}\tag{2.3} \]

我们限定观者变换取\(\Lambda\equiv1,\ a^\mu\equiv(-\tau,\vec0)\)，事实上这自然定义了一个Schr\(\ddot{\text{o}}\)dinger表象下的态矢

\[\Psi_\alpha^\pm(\tau)=\exp(-iH\tau)\Psi_\alpha^\pm=e^{-iE_\alpha\tau}\Psi_\alpha^\pm\label{2.4}\tag{2.4} \]

我们再根据\(H_0\)定义真正的无相互作用多粒子态，记为\(\Phi_\alpha\)，其为\(H_0\)的本征态

\[H_0\Phi_\alpha=E_\alpha\Phi_\alpha\label{2.5}\tag{2.5} \]

自然有其对应的Schr\(\ddot{\text{o}}\)dinger表象下的态矢为

\[\Phi_\alpha(\tau)=\exp(-iH_0\tau)\Phi_\alpha=e^{-iE_\alpha\tau}\Phi_\alpha\label{2.6}\tag{2.6} \]

上面的讨论中，暗含一个关系，那就是真实系统Hamilton量与选取的无相互作用Hamilton量有着同样的能谱分布，这一点是我们作微扰论的前提假设。

  我们已经定义出“入”态与“出”态\(\Psi_\alpha^\pm\)以及真正的无相互作用多粒子态\(\Phi_\alpha\)，我们自然想知道作为散射过程渐近态的“入”态与“出”态，又与真正的无相互作用多粒子态有着怎样的关系。首先，根据前面的分析，在\(\tau\rightarrow\pm\infty\)时，散射过程中考虑的系统可以看作无相互作用的，即\(V\rightarrow0\Rightarrow H\rightarrow H_0\)，那么“入”态与“出”态与无相互作用多粒子态自然应该满足这样的关系

\[\exp(-iH\tau)\Psi_\alpha^\pm\stackrel{\tau\rightarrow\mp\infty}{\longrightarrow}\exp(-iH_0\tau)\Phi_\alpha\label{2.7}\tag{2.7} \]

上述这个关系是有问题的，至少(\(\ref{2.4}\))(\(\ref{2.6}\))两式指出，在\(\tau\rightarrow\mp\infty\)时，上式给出的相位\(\exp(-iE_\alpha\tau)\)是不确定的。具体而言，单色平面波在时空中不是定域的，这并不符合我们描述散射过程采用的物理图像，为解决这个问题，我们可以引入一个波包(wave-packet)

\[\Psi^\pm:=\int d\alpha\ g(\alpha)\Psi_\alpha^\pm\label{2.8}\tag{2.8} \]

引入波包的概念是为了方便我们后面的讨论，在这里我们可以跳过对\(g(\alpha)\)的要求，这些要求详见Weinberg的书。因此，我们利用这个波包可以将(\(\ref{2.7}\))写成下面这个形式，它更具体地表明了我们所需要的关系式

\[\begin{aligned} \int{d\alpha\ e^{-iE_\alpha\tau}g(\alpha)\Psi_\alpha^\pm}=\exp(-iH\tau)\int{d\alpha\ g(\alpha)\Psi_\alpha^\pm}\\ \stackrel{\tau\rightarrow\mp\infty}{\longrightarrow}\exp(-iH_0\tau)\int{d\alpha\ g(\alpha)\Phi_\alpha}=\int{d\alpha\ e^{-iE_\alpha\tau}g(\alpha)\Phi_\alpha} \end{aligned}\label{2.9}\tag{2.9} \]

从(\(\ref{2.9}\))式（或者(\(\ref{2.7}\))式）中，我们可以将“入”态与“出”态\(\Psi_\alpha^\pm\)与真正的无相互作用多粒子态\(\Phi_\alpha\)的关系明确的写出来

\[\Psi_\alpha^\pm=\Omega(\mp\infty)\Phi_\alpha\label{2.10}\tag{2.10} \]

其中

\[\Omega(\tau):=\exp(+iH\tau)\exp(-iH_0\tau)\label{2.11}\tag{2.11} \]

这个定义是针对(\(\ref{2.9}\))式导出的，虽然也可以由(\(\ref{2.7}\))式形式地导出，但我们指出，(\(\ref{2.10}\))(\(\ref{2.11}\))两式都只对(\(\ref{2.9}\))式有效。

  我们定义的\(\Phi_\alpha\)是真正的无相互作用多粒子态，它自然满足我们在上一节讨论的诸多性质，现在我们利用(\(\ref{2.9}\))式自然可以得到如下关系

\[\begin{aligned} \int d\alpha\ d\beta\exp(-i(E_\alpha-E_\beta)\tau)g(\alpha)g^*(\beta)\left(\Psi_\beta^\pm,\Psi_\alpha^\pm\right) \\ =\int d\alpha\ d\beta\exp(-i(E_\alpha-E_\beta)\tau)g(\alpha)g^*(\beta)\left(\Phi_\beta,\Phi_\alpha\right) \end{aligned}\label{2.12}\tag{2.12} \]

上式对任意的光滑函数\(g(\alpha)\)与\(g^*(\beta)\)均成立，利用正交关系(\(\ref{1.8}\))自然有

\[\left(\Psi_\beta^\pm,\Psi_\alpha^\pm\right)=\left(\Phi_\beta,\Phi_\alpha\right)=\delta(\beta-\alpha)\label{2.13}\tag{2.13} \]

  注意到\((\ref{2.1})(\ref{2.5})\)两式，式我们可以考虑将\((\ref{2.2})\)式改写为

\[(E_\alpha-H_0)\Psi_\alpha^\pm=V\Psi_\alpha^\pm\tag{2.14}\label{2.14} \]

注意到当\(V\rightarrow0\)时，上面这个这个式子将给出\(\Psi_\alpha^\pm\rightarrow\Phi_\alpha\)。一般地，我们考虑在微扰情况下\(V\ll H_0\)，这时\((\ref{2.14})\)式右侧的\(V\Psi_\alpha^\pm\)可以看作线性微扰项，那么\((\ref{2.14})\)式自然化为了一个关于\(\Psi_\alpha^\pm\)的线性方程，此时\(\Phi_\alpha\)可以看作其此方程的齐次通解，再考虑一个特解为\((E_\alpha-H_0)^{-1}V\Psi_\alpha^\pm\)，自然可以有\((\ref{2.14})\)式的通解为

\[\Psi_\alpha^\pm=\Phi_\alpha+(E_\alpha-H_0)^{-1}V\Psi_\alpha^\pm \]

但是这个通解显然是不正确的，这是因为\(E_\alpha\)是\(H_0\)的一个特征值，那么\((E_\alpha-H_0)\)是奇异的，故\((E_\alpha-H_0)\)并不是一个可逆的算符，上式中的\((E_\alpha-H_0)^{-1}\)是毫无意义的。但是在物理学中，我们一般都可取\(i\epsilon\)作为一个无穷小虚部添加到某些发散的式子中，以便消除其在实轴上的发散性，这个思想来源于围道积分的一些操作，我们会在后面看到它的具体应用。现在，利用这个技巧，我们将\((\ref{2.14})\)式的通解写为

\[\Psi_\alpha^\pm=\Phi_\alpha+(E_\alpha-H_0\pm i\epsilon)^{-1}V\Psi_\alpha^\pm\tag{2.15}\label{2.15} \]

等式右边的\(\pm\)正是\(\Psi_\alpha^\pm\)的来源，具体可见后面的讨论。由于这个解中还出现了\(\Psi_\alpha^\pm\)这个本应该作为待解量的未知数，所以这个解与其说是解了，还不如说是一个形式上的变换。既然如此，我们不妨再考虑一件事情，到目前为止，我们要构造的渐近态\(\Psi_\alpha^\pm\)实际上和自由多粒子态\(\Phi_\alpha\)在\(t\rightarrow\pm\infty\)时，是非常“相似”的，或者说，\(\Psi_\alpha^\pm\)根本就是对\(\Phi_\alpha\)的一个微小的偏移。那么我们不妨用这组定义在无相互作用Hilbert空间上正交归一的基\(\Phi_\alpha\)来表示\(\Psi_\alpha\)（这里的数学不是那么的严谨），故有

\[\Psi_\alpha^\pm=\Phi_\alpha+\int d\beta\ \frac{T^\pm_{\beta\alpha}\Phi_\beta}{E_\alpha-E_\beta\pm i\epsilon}\tag{2.16}\label{2.16} \]

其中

\[T_{\beta\alpha}^\pm\equiv\left(\Phi_\beta,V\Psi_\alpha^\pm\right)\tag{2.17}\label{2.17} \]

这就是著名的Lippmann-Schwinger方程。

  我们进一步讨论上面定义的无穷小虚部\(\pm i\epsilon\)的作用与\(\pm\)的来源。首先，我们要指出一点，讨论\(\pm i\epsilon\)的性质的时候，渐近态是定义在时间无穷远的，这要求我们讨论的粒子态应该是一个定域在时空中的，同时又要求其动量应该也是定域的，根据测不准关系，我们只能引入一个波包来描述这件事情。为此，仿照\((\ref{2.8})\)式，我们定义如下两个波包

\[\begin{align}\Psi_g^\pm(t)&\equiv\int d\alpha\ e^{-iE_\alpha t}g(\alpha)\Psi_\alpha^\pm\tag{2.18}\label{2.18}\\\Phi_g(t)&\equiv\int d\alpha\ e^{-iE_\alpha t}g(\alpha)\Phi_\alpha\tag{2.19}\label{2.19}\end{align} \]

利用Lippmann-Schwinger方程\((\ref{2.16})\)式和\((\ref{2.19})\)式代入\((\ref{2.18})\)式中，则有

\[\begin{aligned}\Psi_g^\pm(t)=&\int d\alpha\ e^{-iE_\alpha t}g(\alpha)\left[\Phi_\alpha+\int d\beta\ \frac{T^\pm_{\beta\alpha}\Phi_\beta}{E_\alpha-E_\beta\pm i\epsilon}\right] \\=&\Phi_g(t)+\int d\alpha\int d\beta\ \frac{e^{-iE_\alpha t}g(\alpha)T_{\beta\alpha}^\pm\Phi_\beta}{E_\alpha-E_\beta\pm i\epsilon} \\=&\Phi_g(t)+\int d\beta\ \mathscr{I}_\beta^\pm\Phi_\beta\end{aligned}\tag{2.20}\label{2.20} \]

上式第二项二重积分可以交换积分次序（假定总可以这么做），其中

\[\mathscr I_\beta^\pm\equiv\int d\alpha\ \frac{e^{-iE_\alpha t}g(\alpha)T_{\beta\alpha}^\pm}{E_\alpha-E_\beta\pm i\epsilon}\tag{2.21}\label{2.21} \]

注意到\((\ref{2.9})\)式中的讨论，有\(\Phi_g(t)\stackrel{t\rightarrow\mp\infty}{\longrightarrow}\Psi_g^\pm(t)\)，而在\((\ref{2.20})\)式中我们发现当\(t\rightarrow\mp\infty\)时，其主要反映渐进性质的为第二项，更进一步地说，就反映在\((\ref{2.21})\)式的积分性质上。当\(t\rightarrow -\infty\)时，有\(\mathscr I_\beta^+\)这个积分可补充上半围道积分，这里我们应该稍微注意以下，这个积分看似是对\(\alpha\)做的，但是\(\alpha\)是一个非常奇怪的抽象的指标，详见\((\ref{1.8})-(\ref{1.10})\)各式的讨论，我们并不清楚如何将这个抽象指标的积分在一个普通的实数轴上讨论清楚，但\((\ref{1.11})\)式还是给了我们一个启发，那就是用\(\Psi_\alpha\)态对应的本征值\(E_\alpha\)来确定这个积分在实轴上的行进方案。虽然这个做法依旧有很多问题，也不甚严谨，但至少我们可以用这个方案讨论这个积分性质。例如，我们在这里补充的上半围道积分，实际上就是取了\(\text{Im}\ E_n>0\)的积分围道，进一步我们还要假设\(g(\alpha)\)与\(T^+_{\beta\alpha}\)有一些足够好的性质（详见Weinberg书），以确保它们不会对这个围道积分做出一些奇怪的影响，那么可以发现\(\mathscr I_\beta^+\)这个积分将会在\(t\rightarrow-\infty\)时得零，自然满足了\((\ref{2.9})\)所要求的情况。显然，当\(t\rightarrow+\infty\)时也有类似的讨论，这样我们就完全确定了为什么要用\(\pm i\epsilon\)来给\(\Psi^\pm_\alpha\)规避实轴上的极点了。

  下面我们介绍一个重要的公式

\[(E\pm i\epsilon)^{-1}=\frac{\mathscr P_\epsilon}E\mp i\pi\delta_\epsilon(E)\tag{2.22}\label{2.22} \]

其中

\[\begin{align}\frac{\mathscr P_\epsilon}{E}&\equiv\frac{E}{E^2+\epsilon^2}\tag{2.23}\label{2.23} \\\delta_\epsilon(E)&\equiv\frac\epsilon{\pi(E^2+\epsilon^2)}\tag{2.24}\label{2.24}\end{align} \]

将\((\ref{2.23})(\ref{2.24})\)式代入\((\ref{2.22})\)式可以立即得到\((\ref{2.22})\)式的左右是相等的。\((\ref{2.23})\)式实际上表达了这样一件事情，当\(E\gg\epsilon\)时，那\((E\pm i\epsilon)^{-1}\)的主要部分为\(1/E\)，而在这个情况下，\((\ref{2.24})\)式正是一个\(\delta\)函数，证明如下

\[\begin{aligned}\int_{-\infty}^{+\infty}dE\ \frac\epsilon{\pi(E^2+\epsilon^2)}&=\frac{2\epsilon}\pi\int_0^{+\infty}dE\ \frac1{E^2+\epsilon^2}\\&=\frac{2}{\epsilon\pi}\int_0^\infty dE\ \frac1{1+\left(\frac E\epsilon\right)^2}\\&=\frac2\pi\int_0^\infty dx\frac1{x^2+1}\\&=\left.\frac2\pi\arctan x\right|_0^\infty\\&=\frac2\pi\times\frac\pi2=1\end{aligned}\tag{2.25}\label{2.25} \]

只需要再注意到

\[\delta_{\epsilon\rightarrow0}(E)=\left\{\begin{aligned}0,\quad E\neq0\\\infty,\quad E=0\end{aligned}\right.\tag{2.26}\label{2.26} \]

有了这些深刻的认识之后，我们进一步可以将\((\ref{2.22})\)式子写为

\[(E\pm i\epsilon)^{-1}=\frac{\mathscr P}E\mp i\pi\delta(E)\tag{2.27}\label{2.27} \]

三、S矩阵

（未完待续，反正我最近都在看这一方面的内容，就看有没有空整理了）