Free Spinor Fields
一、Dirac方程与旋量场(Spinor Fields)
1.1 一般齐次固有顺时Lorentz变换群性质的简介
我们首先从齐次固有顺时Lorentz变换群入手讨论，那么我们就可以得到如下的Lie代数结构
\[\left[J^{\mu\nu},\ J^{\rho\sigma}\right]=i\left(g^{\nu\rho}J^{\mu\sigma}-g^{\mu\rho}J^{\nu\sigma}-g^{\nu\sigma}J^{\mu\rho}+g^{\mu\sigma}J^{\nu\rho}\right) \tag{1.1.1}
\]
接下来，我们来试着寻找所谓的这个Lorentz对称变换群的旋量(Spinor)表示。
我们由Lorentz群的生成元出发，可构造转动(rotation)生成元\(L^i\)与boost生成元\(K^i\)为
\[\begin{align}
L^i&=\frac12\varepsilon^{ijk}J^{jk}\tag{1.1.2 a} \\
K^i&=J^{0i}\tag{1.1.2 b}
\end{align}
\]
这样构造出来的无穷小Lorentz变换自然可以写为
\[\psi\rightarrow\left(1-i\hat{\vec{\theta}}\cdot\vec{L}-i\hat{\vec{\beta}}\cdot\vec{K}\right)\psi\tag{1.1.3}
\]
由(1.1.1)式，我们还可以得到如下的关系
\[\begin{align}
\left[L^i,\ L^j\right]&=i\varepsilon^{ijk}L^k\tag{1.1.4 a} \\
\left[L^i,\ K^j\right]&=i\varepsilon^{ijk}K^k\tag{1.1.4 b} \\
\left[K^i,\ K^j\right]&=-i\varepsilon^{ijk}L^k\tag{1.1.4 c}
\end{align}
\]
我们可以进一步定义如下算符
\[\vec{J}_\pm=\frac12\left(\vec L\pm i\vec K\right)\tag{1.1.5}
\]
根据(1.1.4)中的对易关系，我们又可以得到
\[\begin{align}
&\begin{aligned}
\left[J_+^i,\ J_-^j\right]&=\frac14\left[L^i+iK^i,\ L^j+iK^j\right] \\
&=\frac14\left(\left[L^i,\ L^j\right]+i\left[L^i,\ K^j\right]+i\left[K^i,\ L^j\right]-\left[K^i,\ K^j\right]\right) \\
&=\frac i2\varepsilon^{ijk}L^k+\frac i4\left(i\varepsilon^{ijk}K^k-i\varepsilon^{jik}K^k\right)=\frac i2\varepsilon^{ijk}\left(L^k+iK^k\right) \\
&=i\varepsilon^{ijk}J_+^k
\end{aligned}\tag{1.1.6 a} \\
&\left[J_-^i,\ J_-^j\right]=i\varepsilon^{ijk}J_-^k\tag{1.1.6 b} \\
&\left[J_+^i,\ J_-^j\right]=0\tag{1.1.6 c}
\end{align}
\]
上式的操作中，我们可以看到在原本Lorentz群中，可以构造成为两个\(SO(3)\)群的直积。根据\(SO(3)\)群的性质，我们自然可以构造它的任意有限维表示，如一维表示（对应着零自旋空间）、二维表示（对应着\(\frac12\)自旋空间）等等。
1.2 Dirac方程以及其解作为Lorentz群的旋量表示
Klein-Gordon方程是最早得到的满足狭义相对论的自由场方程，对其进行形式上的开方，便可以得到Dirac方程的一般形式，Dirac对这个方程的考量，还给出了这个这个方程系数满足的一些有趣的数学结构，首先给出Dirac方程的一般形式如下
\[\left(i\partial\!\!\!/-m\right)\psi(x)=\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi(x)=0\tag{1.2.1 Dirac Equation}
\]
其中-slash定义为\(a\!\!\!/:=\gamma^\mu a_{\mu}\)，我们还指出\(\gamma^\mu\)满足以下的反对易代数关系
\[\left\{\gamma^\mu,\ \gamma^\nu\right\}=\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu=2g^{\mu\nu}\tag{1.2.2 Dirac Algebra}
\]
这本质上是一个Clifford Algebra，可以参照数学物理书籍对其的讨论，这里不再赘述。我们现在可以直接从\(\gamma^\mu\)出发，定义如下的一个我们称之为生成元的形式
\[S^{\mu\nu}=\frac i4\left[\gamma^\mu,\ \gamma^\nu\right]\tag{1.2.3}
\]
我们自然想知道，这个被称为生成元的\(S^{\mu\nu}\)满足怎样的代数关系，由于我们的出发点是Lorentz对称变换群，而\(S^{\mu\nu}\)又被我们称作生成元，那么我们自然希望\(\left[S^{\mu\nu},\ S^{\rho\sigma}\right]\)也满足(1.1.1)给出的对易关系，这样子我们就的确得到了\(S^{\mu\nu}\)作为Lorentz群的一个群表示的生成元。在计算这个对易关系前，我们利用Dirac Algebra(1.2.2)先给出下面这个计算
\[\begin{aligned}
S^{\mu\nu}\gamma^\rho&=\frac i4\left(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho-\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho\right) \\
&=\frac i4\left(2\gamma^\mu g^{\nu\rho}-\gamma^\mu\gamma^\rho\gamma^\nu-2\gamma^\nu g^{\mu\rho}+\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu\right) \\
&=\frac i4\left[2\left(\gamma^\mu g^{\nu\rho}-\gamma^\nu g^{\mu\rho}\right)-\left(2g^{\mu\rho}\gamma^\nu-\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu\right)+\left(2g^{\nu\rho}\gamma^\mu-\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu\right)\right] \\
&=i\left(\gamma^\mu g^{\mu\rho}-\gamma^\nu g^{\mu\rho}\right)+\gamma^\rho S^{\mu\nu}
\end{aligned}\tag{1.2.4}
\]
上式给出这样一个对易关系
\[\left[S^{\mu\nu},\ \gamma^\rho\right]=i\left(\gamma^\mu g^{\nu\rho}-\gamma^\nu g^{\mu\rho}\right)\tag{1.2.5}
\]
利用(1.2.5)式，我们自然可以得到如下的对易关系
\[\begin{aligned}
\left[S^{\mu\nu},\ S^{\rho\sigma}\right]=&\frac i4\left[S^{\mu\nu},\ \gamma^\rho\gamma^\sigma-\gamma^\sigma\gamma^\rho\right] \\
=&\frac i4\left(\left[S^{\mu\nu},\ \gamma^\rho\right]\gamma^\sigma+\gamma^\rho\left[S^{\mu\nu},\ \gamma^\sigma\right]-\gamma^\sigma\left[S^{\mu\nu},\ \gamma^\rho\right]-\left[S^{\mu\nu},\ \gamma^\sigma\right]\gamma^\rho\right) \\
=&-\frac14
\left(\begin{aligned}g^{\nu\rho}\gamma^\mu\gamma^\sigma-g^{\mu\rho}\gamma^\nu\gamma^\sigma+g^{\nu\sigma}\gamma^\rho\gamma^\mu-g^{\mu\sigma}\gamma^\rho\gamma^\nu \\
g^{\nu\rho}\gamma^\sigma\gamma^\mu+g^{\mu\rho}\gamma^\sigma\gamma^\nu-g^{\nu\sigma}\gamma^\mu\gamma^\rho+g^{\mu\sigma}\gamma^\nu\gamma^\rho
\end{aligned}\right) \\
=&-\frac14\left(g^{\nu\rho}\left[\gamma^\mu,\ \gamma^\sigma\right]-g^{\mu\rho}\left[\gamma^\nu,\ \gamma^\sigma\right]+g^{\nu\sigma}\left[\gamma^\rho,\ \gamma^\mu\right]-g^{\mu\sigma}\left[\gamma^\rho,\ \gamma^\nu\right]\right) \\
=&i\left(g^{\nu\rho}S^{\mu\sigma}-g^{\mu\rho}S^{\nu\sigma}-g^{\nu\sigma}S^{\mu\rho}+g^{\mu\sigma}S^{\nu\rho}\right)
\end{aligned}\tag{1.2.6}
\]
将(1.2.6)式与(1.1.1)式比较，可见\(S^{\mu\nu}\)之间的对易关系确实符合Lorentz对称变换群给出的Lie代数，因此生成元\(S^{\mu\nu}\)构造出的矩阵群的确荷载了Lorentz对称变换群的一个表示，称之为旋量表示，我们自然想进一步知道旋量表示的一些性质。
首先，我们利用旋量表示来具体确定以下Dirac方程的Lorentz不变性，旋量表示的不变函数空间函数基的变换规则表示如下
\[\psi^\prime_a(x)=\Lambda_{\frac12}(\Lambda)_{ab}\psi_b(\Lambda^{-1}x)\tag{1.2.7}
\]
（未完待续）
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