差分、前缀和和组合数

差分、前缀和和组合数

1、

所加的如果式组合数的话，可以通过多次前缀和求得，进而用差分解决区间加的问题。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=1e5+100;
const LL mod=1e9+7;
​
LL a[MAXN],c[MAXN][105],f[MAXN][105];
void init()
{
    for(int i=0;i<MAXN;++i) c[i][0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN;++i){
        for(int j=1;j<105;++j){
            c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    return ;
}
int main()
{
    init();
    int N,M; scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=1;i<=N;++i){
        scanf("%lld",&a[i]);
    }
    int L,R,K;
    for(int i=1;i<=M;++i){
        scanf("%d%d%d",&L,&R,&K);
        f[L][K]=(f[L][K]+1)%mod;
        for(int j=K;j>=0;j--){
            f[R+1][j]=(f[R+1][j]-c[K-j+R-L][K-j]);
        }
    }
    for(int i=100;i>=0;i--){
        for(int j=1;j<=N;++j){
            f[j][i]=(f[j][i]+f[j-1][i])%mod;
            f[j][i]=(f[j][i]+f[j][i+1])%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;++i){
        printf("%lld ",((f[i][0]+a[i])%mod+mod)%mod);
    }
    printf("\n");
    return 0;
}
​

2、[L，n]区间分别加上1，x，x^2

1）常数：直接差分

2） x=1，2，3

x：二次前缀和

void get(int *a,int n){
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        a[i] += a[i-1];
    }
}
int main(){ 
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        cin >> pos;
        a[pos]++;
    }
    get(a);//第一次让每个值都加上1
    get(a);//第二次让每个值加上与L的距离
    return 0;
}

ax+b:

void get(int *a,int n){
    for(int i = 1;i <= n;i++){
       a[i] += a[i-1];
    } 
}
int POS[MAN];
int main(){ 
   int cnt = 0;
   for(int i = 1;i <= m;i++){
       cin >> pos;
       POS[cnt++] = pos;
       a[pos] += A;//假设A已给出
    }
    get(a);//第一次让每个值都加上A
    for(int i = 0;i < cnt;i++){
          a[POS[i]]+= B;//假设B已给出
    }
    get(a);//第二次让每个值加上与L的距离
    return 0;
}

3) x^2= 1^2、2^2、3^2

void get(int *a,int n){
    for(int i = 1;i <= n;i++){
       a[i] += a[i-1];
    } 
}
int main(){ 
    for(int i = 1;i < =m;i++){
        int pos;cin >>pos;
        a[pos]++;//当前位置加一很容易理解。
        a[pos+1]++;//这里可能会比较难懂，pos+1这个位置加上1，就是pos对于n的相对位置是x，而pos+1对于n的相对位置就是x-1
    }
    get(a,n);
    get(a,n);//前2个就是得到x。
    get(a,n);//对x进行求前缀和，得到sn.
    return 0;
}

3.

k次多项式的k+1阶差分可以用k+1个常数来表示，并且这k+1个常数的和总是等于最高项系数乘以k的阶乘。