斜率优化

斜率优化

1.费用提前计算

O(N^2)

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=5e3+100;
LL f[MAXN],sumt[MAXN],sumc[MAXN];
int N,S;
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&S);
    int t,c;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        scanf("%d%d",&t,&c);
        sumt[i]=sumt[i-1]+t;
        sumc[i]=sumc[i-1]+c;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        for(int j=0;j<i;++j){
            f[i]=min(f[i],f[j]+sumt[i]*(sumc[i]-sumc[j])+S*(sumc[N]-sumc[j]));
        }
    }
    printf("%lld\n",f[N]);
​
    return 0;
}
​

2.斜率优化

O(N)

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=3e5+100;
LL f[MAXN],sumt[MAXN],sumc[MAXN],q[MAXN];
int N,S;
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&S);
    int t,c;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        scanf("%d%d",&t,&c);
        sumt[i]=sumt[i-1]+t;
        sumc[i]=sumc[i-1]+c;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    int L=1,R=1;
    q[1]=0;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        while(L<R&&(f[q[L+1]]-f[q[L]])<=(S+sumt[i])*(sumc[q[L+1]]-sumc[q[L]])) L++;
        f[i]=f[q[L]]-(S+sumt[i])*sumc[q[L]]+sumt[i]*sumc[i]+S*sumc[N];
        while(L<R&&(f[q[R]]-f[q[R-1]])*(sumc[i]-sumc[q[R]])>=(f[i]-f[q[R]])*(sumc[q[R]]-sumc[q[R-1]])) R--;
        q[++R]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[N]);
​
    return 0;
}
​

斜率优化，维护整个凸壳，不需要队头删除，但是需要二分查找最优解。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
​
typedef long long LL;
const int MAXN=3e5+100;
LL f[MAXN],sumt[MAXN],sumc[MAXN],q[MAXN];
int N,S,L,R;
int b_search(int k)
{
    if(L==R) return q[L];
    int l=L,r=R,mid;
    while(l<r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(f[q[mid+1]]-f[q[mid]]<=k*(sumc[q[mid+1]]-sumc[q[mid]])) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    return q[r];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&S);
    int t,c;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        scanf("%d%d",&t,&c);
        sumt[i]=sumt[i-1]+t;
        sumc[i]=sumc[i-1]+c;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    f[0]=0;
    L=1,R=1;
    q[1]=0;
    int p;
    for(int i=1;i<=N;++i){
        p=b_search(sumt[i]+S);
        f[i]=f[p]-(S+sumt[i])*sumc[p]+sumt[i]*sumc[i]+S*sumc[N];
        while(L<R&&(f[q[R]]-f[q[R-1]])*(sumc[i]-sumc[q[R]])>=(f[i]-f[q[R]])*(sumc[q[R]]-sumc[q[R-1]])) R--;
        q[++R]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[N]);
​
    return 0;
}
​