一道小面试算法题的思路

一道小算法题的思路

有这么一道小面试算法题：给定一个长度为 n 的整数数组，下标为 i 的元素表示第 i 天某个股票的价格，每次最多持有一股，每次买卖最多一股，在最多只买卖一次的情况下（先买后卖，不考虑融券等复杂形式），最大的收益是多少。

先考察一下可能的数据：

 0   1   2   3   4   5   6   7
12   9   6  10   8  22  20  15

由于是先买后卖，从数据上看，是在 2 处买入，5 处卖出时，得到收益为 16 最大。

而在股票一直下跌的情况下，不买不卖，得到的收益为 0 最大。

1. o(n^2) 直观算法

   最简单的思路，就是从前向后逐个计算收益，求最大收益，如下：

    price[n]
    max_profit = 0
    for i = 0...n-2:
        for j = i+1...n-1:
            profit = price[j] - price[i]
            if profit > max_profit:
                max_profit = profit
   

   这个算法的复杂度为 o(n^2) ，能不能继续优化？

2. o(n) 算法

   用归纳法分析一下，在第 n-1 天时，最大收益为 max_profit ，其中最小的价格为 min_price，那么第 n 天时，最大的收益计算为：

    if price[n] - min_price > max_profit:
        max_profit = price[n] - min_price
   

   因此，可把算法改为：

    price[n]
    max_profit = 0
    min_price = price[0]
    for i = 1...n-1:
        profit = price[i] - min_price
        if profit > max_profit:
            max_profit = profit
        if min_price > price[i]:
            min_price = price[i]
   

   变化为 o(n) 复杂度。

3. 推广变化

   现在，考虑更加复杂的形式，先来个允许不限次数的买卖，那么，在每一个递增的子区间，都能得到收益，总收益为各个收益的和：

    price[n]
    sum_profit = 0
    for i = 1...n-1:
        profite = price[i] - price[i-1]
        if profite > 0:
            sum_profit += profit
   

   再复杂一点，允许进行融券形式（即允许从券商借出后先卖后买），同样限制最多持有或融入 1 股，在结束前使得手上股票数为 0 。这种规则下，股票价格升降都会得到收益，总收益为：

    price[n]
    sum_profit = 0
    for i = 1...n-1:
        profite = price[i] - price[i-1]
        if profite < 0:
            sum_profite += -profite
        else:
            sum_profite += profite
   

   在此基础上，还可以放开一些限制条件，如不限制持有的数量等等。更进一步，可设定一个收益目标，符合收益目标的买卖组合，这样就更加现实意义有意思了。