CF-1921-F-根号分治

1921-F 题目大意

有一个长为\(n\)的序列\(a\)，有\(q\)次询问，对于每次询问：

• 给定\(s,d,k\)，请输出\(\sum_{i=1}^{k}i*a_{s+(i-1)*d}\)

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Solution

根号分治。

• 对于\(d\ge \sqrt{n}\)的情况，直接暴力计算即可。
• 对于\(d\le \sqrt{n}\)的情况，这时需要预处理两个数组：\(pre,sum\)，这里\(pre[d][i]\)表示公差为\(d\)，最后一个元素为\(a[i]\)的数列的前缀和；\(sum[d][i]\)表示公差为\(d\)的数列，\(a[i]*\)其项数的前缀和，递推式子如下：

\[pre[d][i+d]=pre[d][i]+a[i] \]

\[sum[d][i+d]=sum[d][i]+a[i]*(i/d+1) \]

这时可以\(O(1)\)的计算出询问结果为\(sum[d][s+d*k]-sum[d][s]-(pre[d][s+d*k]-pre[d][s])*(s/d)\)。

根号算法结合了暴力计算以及数列求和的优点，真正实现了时空平衡，复杂度均为\(O(n\sqrt{n})\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;

const int N=1e5+10;
ll pre[400][N],sum[400][N];

void solve(){
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    int B=sqrt(n);
    vector<ll> a(n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int d=1;d<=B;d++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            pre[d][i+d]=pre[d][i]+a[i];
            sum[d][i+d]=sum[d][i]+a[i]*(i/d+1);
        }
    }
    while(q--){
        int s,d,k;
        cin>>s>>d>>k;
        if(d<B){
            cout<<sum[d][s+d*k]-sum[d][s]-(pre[d][s+d*k]-pre[d][s])*(s/d)<<" ";
        }else{
            ll res=0;
            for(ll i=1;i<=k;i++){
                res+=a[s+d*(i-1)]*i;
            }
            cout<<res<<" ";
        }
    }
    cout<<'\n';
}

int main(){
    ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output.txt","w",stdout);
    int T=1;
    cin>>T;
    while(T--){
        solve();
    }
    return 0;
}