算法课 PA2 T1

题目大意

用斐波那契数列表示 \(x\) 指用斐波那契数列的不同项加起来等于 \(x\)。

给出 \(n\le 10^{12}\)，问有多少种方法表示 \(n\)。

题解

第一步需要一些数学直觉，就是这种表示的数量很少，因为斐波那契数列呈指数增长，联想来说，使用 \(2^k\) 进行表示的方法甚至只有一种，因为后面的数字比前面大多了，不选 \(2^k\) 后面就很难弥补了。这一点在题目输入中也有所提示，当 \(n=10^{12}\) 时也只有 28w 种方案。

然后就是使用搜索，每次确保能搜索到一个合法的表示方案。具体来说，定义 DFS(n, k) 表示用 fib[1...k] 来表示 n 的方案数有多少。那么当 \(\sum_{i=1}^kf_i<n\) 的时候就一定没法表示，直接 return 0 即可。这样每次至少搜索到一个合法方案，时间就很快了。不然就需要 \(2^k\) 次枚举来验证每个方案，这显然是不行的。

我们又知道 \(\text{fib}_{60} > 10^{12}\)，所以直接计算 DFS(n, 60) 即可。