省赛 用 and or xor 构造指定数值

题目大意

给定初始集合 \(a_1,..,a_n\)，可以求出 \(a_i * a_j\) 的结果，* 为 and/or/xor，并放入集合中成为可用数字。

最后想让 x 出现在集合中。

题解

首先考虑做到最后，会得到一个神秘集合 S，这个集合对三种运算封闭。

出于直觉，可以猜测 and/or 可以只保留其一，证明也是显然的（(a and b) xor (a or b) = a xor b）。

我们现在对于这个集合 S 进行研究，其满足存在些初始元素，且关于 xor 和 and 封闭。

其关于 xor 封闭，那么就一定是个线性空间，假设其基为 e1,...,ek，k 为维度。研究当基满足什么条件会有对 and 封闭。

若 \(a,b\in V\)，转变成基底表示有 \(\oplus e_{a_i} \& \oplus e_{b_i}\in V\)。此时，有一个神秘的性质，那就是 and 对 xor 有分配律。因此，最终只需要满足 \(e_i\& e_j\in V\) 即可。

通过这样可以得到 S，再对 S 用线性基得到 x。