一阶常系数线性差分方程通解求法
最近遇到要求解此类差分方程的问题，查阅了相关资料，进行了完善并记录下来
求一阶常系数齐次线性差分方程的通解
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式为 \(y_{n+1}-ay_n=0,(a \neq 0)\)
迭代法
给定初始值为 \(y_0\) ，则 \(y_1=ay_0, y_2=ay_1=a^2y_0, y_3=ay_2=a(a^2y_0)=a^3y_0, \dots , y_n=a^ny_0\)
其中初始值 \(y_0\) 为常数，令 \(y_0=C\) ， 则通解可表示为 \(Y_n=Ca^n\)
当存在某一个 \(y_x\) 已知时，将其代入通解，可以求得 \(C\)
特征根法
将原方程变形 \(y_{n+1}-ay_n=0,(a \neq 0) \iff y_{n+1}-y_n+(1-a)y_n=0 \iff \Delta y_n+(1-a)y_n=0,(a \neq 0)\)
根据 \(\Delta \lambda^n=(\lambda-1)^n\) 可以看出 \(y_n\) 的形式一定为某一指数函数
设 \(y_n=\lambda^n(\lambda \neq 0)\) ，代入原方程得 \(\lambda^{n+1}-a\lambda^n=0\) ，即 \(\lambda-a=0 \iff \lambda=a\)
于是 \(y_n=a^n\) 是原方程的一个解，从而 \(y_n=Ca^n\) 是原方程的通解
举例
【例1】求 \(y_{n+1}-y_n=0\) 的通解
【解】特征方程为 \(\lambda-1=0\) ，解得特征根为 \(\lambda=1\) ，所以原方程的通解为 \(Y_n=C\)
【例2】求 \(y_{n+1}-2y_n=0\) 的通解
【解】特征方程为 \(\lambda-2=0\) ，解得特征根为 \(\lambda=2\) ，所以原方程的通解为 \(Y_n=C\cdot2^n\)
【例3】已知 \(y_0=1\) ，求 \(y_{n+1}+y_n=0\) 的通解
【解】特征方程为 \(\lambda+1=0\) ，解得特征根为 \(\lambda=-1\) ，所以原方程的通解为 \(Y_n=C(-1)^n\)
将 \(y_0=1\) 代入，得到 \(1=C(-1)^0 \iff C=1\) ，所以原方程的通解为 \(Y_n=(-1)^n\)
求一阶常系数非齐次线性差分方程的通解
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式为 \(y_{n+1}-ay_n=f(n),(a \neq 0)\)
当 \(f(n)=0\) 时，方程为 \(y_{n+1}-ay_n=0\) ，称它为原方程对应的齐次方程
一阶常系数非齐次线性差分方程的通解为对应的齐次方程通解 \(Y_n\) 与原方程的特解 \(y^*_n\) 之和，即 \(y_n=Y_n+y^*_n\)
当 \(f(n)\) 为某些特殊类型的函数时，采用待定系数法求其特解 \(y^*_n\) 较为方便
右端函数为m阶多项式类型
原方程变形为 \(\Delta y_n+(1-a)y_n=f(n),(a \neq 0)\)
由于 \(f(n)\) 为多项式，因此 \(y^*_n\) 也应该是多项式
当 \(a\neq1\) 时，令 \(y^*_n=\theta_0 n^m+\theta_1 n^{m-1}+\dots+\theta_m\)
当 \(a=1\) 时，令 \(y^*_n=n(\theta_0 n^m+\theta_1 n^{m-1}+\dots+\theta_m)\)
举例
【例1】求 \(y_{n+1}-y_n=n^2\) 的通解
【解】对应的齐次方程为 \(y_{n+1}-y_n=0\) ，特征方程为 \(\lambda-1=0\) ，特征根为 \(\lambda=1\) ，齐次方程的通解为 \(Y_n=C\)
设原方程的特解为 \(y^*_n=an^3+bn^2+cn\) ，代入原方程得 \(a(n+1)^3+b(n+1)^2+c(n+1)-an^3-bn^2-cn=n^2\)
原方程要恒成立，用待定系数法得到 \(a=\frac{1}{3}, b=\frac{1}{2}, c=\frac{1}{6}\)
所以原方程的通解为 \(y_n=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n+C\)
右端函数为指数函数与m阶多项式相乘
设原方程为 \(y_{n+1}-ay_n=\mu^nP_m(n),(a \neq 0)\)
当 \(\mu=0,1\) 时，属于上面一种情况
当 \(\mu \neq 0,1\) 时，设 \(y_n=\mu^n \cdot z_n\)
代入原方程得 \(\mu^{n+1}z{n+1}-a\mu^nz_n=\mu^nP_m(n)\)
消去 \(\mu^n\) ，得 \(\mu z_{n+1}-az_n=P_m(n)\) ，就成为了上面一种类型，于是 \(y^*_n=\mu^n \cdot z^*_n\)
