前缀和与差分

前缀和与差分

1. a[i][...] 原数组，S[i][...] 处理后数组
2. 区分性质,，推出公式
3. 预处理维护 S 数组

注意：所有的前缀和与差分都是从下标 1 开始

一维前缀和 O(n)

根据数列公式：
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

二维前缀和 O(n²)

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

前缀和：用于在某段区间上求和, 可以以 O(1) 方式取出

一维差分 O(n)

给区间[l, r]中的每个数加上c：
B[l] += c, B[r + 1] -= c

二维差分 O(n²)

给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

差分：用于在某段区间上全部加一个数c, 可以以 O(1) 的方式取出

体会：前缀和与差分相当于逆运算，对于前缀和这样的预处理适合要询问某段区间和这样的问题较为方便，而差分则是维护区间的集体增删，通过差分这样的性质来维护。二维的前缀和影响的范围是从当前点向左上的区间，二维差分则相反，是从当前点向右下的区间受影响。针对区别，更容易推导记忆。