@课前对话
假设现在又一排多米诺骨牌。如何将它们全部推倒呢？这个简单！只要将它们排列成其中1个一倒就能顺次带倒下一个的形状就行了。然后推倒第一个多米诺骨牌，就可以了。(这就是数学归纳法的两个步骤。)
@开始本章学习：
1，高斯求和(1到100之间所有的数相加)
如此一来，就变成了101+101+101+...+101那样100个101相加的结果。这样的计算就非常简单了。只要将101乘以100即可，结果为10100。不过10100是要求的数的2倍，因此还得除以2，答案为5050。
答案：5050
小高斯的方法可谓绝妙非凡！
归纳：高斯运用了以下等式。
那么，这个等式对于0以上的任意整数n都成立吗？即n为100，200，或者100万，100亿时该等式也都成立吗？如果成立的话，又如何来证明呢？
这种时候就要用到数学归纳法了。数学归纳法是证明"断言对于0以上的所有整数n都成立"的方法。
2，数学归纳法---如何征服无穷数列
首先，从"0以上的整数的断言"开始学起，然后使用数学归纳法来证明高斯的断言。
(1)，什么是断言？(例如，n*2的结果都是偶数就是断言，断言有成立的，有不成立的。所以断言需要证明！)
下面是一些0以上的整数的断言，下面举几个例子：
由于断言需要证明，所以产生了数学归纳法。
(2)，什么是数学归纳法？---》证明断言是否成立方法
数学归纳法是证明有关整数的断言对于0以上的所有整数(0,1,2,3...)是否成立时所用的方法。
---假设现在要用数学归纳法莱证明"断言P(n)对于0以上的所有整数n都成立"。
* 数学归纳要经过以下两个步骤进行证明。这是本章的核心内容：
步骤1：
证明"P(0)成立"。
步骤2：
证明不论k为0以上的哪个整数，"若P(k)成立，则P(k+1)也成立"
在步骤1中，要证明当k为0时断言P(0)成立。我们将步骤1称为基底(base)。
在步骤2中，要证明无论k为0以上的哪个整数，"若P(k)成立，则P(k+1)也成立"。我们将步骤2称作归纳。该步骤证明断言若对于0以上某个整数成立，则对于下一个整数也成立。
若步骤1和步骤2都能到证明，就证明了"断言P(n)对于0以上的所有整数n都成立"。
以上就是数学归纳法的证明方法。
3，用数学归纳法证明高斯的断言
下面我们就以证明高斯的断言G(n)为例具体看看数学归纳法。首先讨论断言G(n)。
* 断言G(n):0到n的整数之和与n*(n+1)/2相等。
使用数学归纳法就需要通过步骤1(基底)和步骤2(归纳)来证明。
步骤1：基底的证明
证明G(0)成立。
G(0)就是0到0的整数之和与0*(0+1)/2相等。
这可以通过直接计算证明。0到0的整数之和是0，0*(0+1)/2也是0。
至此，步骤1证明完毕。
步骤2：归纳的证明
证明当k为0以上的任一整数时，"若G(k)成立，则G(k+1)也成立"。
先假设G(k)成立。即假设"0到k的整数之和与k*(k+1)/2相等"。这时候，以下等式成立。
假设成立的等式G(k)
0+1+2+...+k=k*(k+1)/2
下面，我们来证明G(k+1)成立。
要证明的等式G(k+1)
0+1+2+...+k+(k+1)=(k+1)*((k+1)+1)/2
G(k+1)的左边使用假设的等式G(k)可以进行如下计算。
4，用数学归纳法证明另一个断言-----从1开始连续奇数的和等于最大奇数的平方
(1)，请证明以下断言Q(n)对于1以上的所有整数n都成立。
断言Q(n):1+3+5+7+...+(2*n-1)=n^2
Q(n)是比较有意思的断言。按从小到大的顺序将n个奇数相加，得到n^2，即平方数n*n。
这对吗？在证明之前，先通过较小的数n=1,2,3,4,5判断Q(n)的真假。
通过以上计算发现断言确实是成立的。
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