[摘抄]简要理解矩阵计算在向量空间变换中的应用

向量是“方向”和“数量”的组合。在一个二维或三维空间里，一个向量，表示一个具体的位置。我们可以通过向量和整数的运算，组合而成新的位置。但是，当我们要对向量存在的空间本身进行变换的时候，该怎么办呢？

这时，我们就需要一种新的数学工具，叫做矩阵。

什么是矩阵

简单来说，矩阵看起来就是一组排列起来的向量，其中向量的维数是矩阵的行，向量的个数，叫做矩阵的列。在下面的注释中，就是一个3x3的矩阵：

///
/// | 5 6 7 |
/// | 2 4 3 |
/// | 1 9 8 |
///

但是，矩阵的行和列并不一定是相同的，并且，我们管这种行列个数相同的矩阵，叫做方阵。接下来，为了尽可能简化我们讨论的范围，我们将只基于2x2和3x3这两种方阵研究矩阵的运算。当你理解了它们的含义之后，也就不难扩展到更一般的情况了。

理解矩阵和向量的运算

首先，来看方阵M和向量v相乘的运算规则，简单来说，就是先把向量v放倒，然后依次和矩阵M的每一行中的对应元素相乘并相加，每向下处理过一层，就产生一个新的结果。因此，最终相乘的结果，还是一个向量，这个向量的维数和矩阵的行数是相等的。

例如一个3x3的方阵乘以一个三维向量，得到的结果仍旧是一个三维向量：

///
/// | 5 6 7 |   | 1 |   | 1 * 5 + 2 * 6 + 3 * 7 |
/// | 2 4 3 | x | 2 | = | 1 * 2 + 2 * 4 + 3 * 3 |
/// | 1 9 8 |   | 3 |   | 1 * 1 + 2 * 9 + 3 * 8 |
///

要注意的是，相乘的顺序，一定是方阵在前，向量在后，我们才能能到一个新的向量。如果反过来，就变成了两个矩阵相乘，它们的含义是不同的，甚至，是不能相乘的。

理解了这个计算方式之后，你可能会想，为什么要把向量和矩阵相乘呢？直接把答案说出来，就是：

为了变换向量所在的空间

重要的事情要说三遍，那么空间变换具体的含义是什么呢？我们知道，在一个二维平面里，我们可以选取两个基向量e₁和e₂确定一个空间，在这个空间里，向量w就可以表示为5e₁+2e₂。

现在，假设我们要换一组基向量e₃ e₄表达这个2维空间，在更换的过程里，我们要让一些条件保持不变：

原点位置不变；
平行线变换后仍旧是平行线；
直线变换后仍旧是直线；

这样，同样是(5, 2)这个位置，在新的坐标系中，就变成了5e₃+2e₄，也就是说，同样的向量，在我们变换了空间之后，它就会呈现不同的样子。不难想象，利用这个特性，我们就能让图像呈现出远近、缩放等不同的视觉效果。

现在，为了量化这个变换的过程，我们把这些基向量放在一个笛卡尔坐标系中。假设，e₃的坐标是(x₁₁, y₂₁)，e₄的坐标是(x₁₂, y₂₂)，其实，我们不用管这个具体的数值是什么。这样，(5, 2)在e₃ e₄空间中的变换就可以写成这样：5(x₁₁, y₂₁) + 2(x₁₂, y₂₂)，把这个式子做一些简单的变换就可以得到这样的结果：5x₁₁ + 2x₁₂ + 5y₂₁ + 2y₂₂，发现什么了么？如果我们把e₃ e₄的值写成一个2x2方阵，就更加明显了：

没错，按照矩阵和向量乘积的运算法则，这个结果就是变换后的向量，理解了这个过程之后，我们就可以反过来理解刚才强调了三遍的结果：当我们用一个矩阵和向量相乘的时候，是为了变换向量所在的空间。

单位矩阵

接下来，我们来看一种特殊的方阵，叫做单位矩阵，这种方阵左上到右下对角线都是1，其它位置都是0。例如这样：

///
///             | 1 0 0 |
/// | 1 0 |     | 0 1 0 |
/// | 0 1 |     | 0 0 1 |
///

也就是说，在笛卡尔坐标系中，单位矩阵是由基底向量排列而成的矩阵。不难理解，这种矩阵和向量相乘的时候，不会带来任何变化。但通过它，我们可以方便的某个维度上对向量进行调整。

例如，要水平翻转平面的X轴，可以用：

///
///              | -1 0 0 |
/// | -1 0 |     |  0 1 0 |
/// |  0 1 |     |  0 0 1 |
///

要垂直翻转Y轴，可以用：

///
///             | 1  0 0 |
/// | 1 0 |     | 0 -1 0 |
/// | 0 -1 |    | 0  0 1 |
///

要让对象远离当前位置可以用：

///
///              | 0.5 0   0   |
/// | 0.5   0 |  | 0   0.5 0   |
/// | 0   0.5 |  | 0   0   0.5 |
///

如果你想不太清楚道理，试着用一个向量分别去观察下和这些方阵相乘的结果，一下子就会明白了。通过这些例子，我们不难发现，对于任意一个2x2的方阵来说，它的第一列，就是变换后(1, 0)所在的位置；而第二列，就是变换后(0, 1)所在的位置，对于3x3的方阵来说，道理也是如此。理解了这个规律，就不难想象一个矩阵对向量空间的变化了。