[曼哈顿]街区最短路径

 

曼哈顿距离：两点在南北方向上的距离加上在东西方向上的距离，即d（i，j）=|xi-xj|+|yi-yj|。对于一个具有正南正北、正东正西方向规则布局的城镇街道，从一点到达另一点的距离正是在南北方向上旅行的距离加上在东西方向上旅行的距离。

思路：因为只能东西和南北方向走，所以先把南北（X）和东西（Y）方向的坐标分开，分别求它们的最值，然后相加即可。分析可以得知，邮局的所建点必须在居民点上，要不然所得的值总会比最小值多出一部分来。知道这个然后让我们来分析：假设在坐标轴X上有n个点，是从1到n，我们所求的目标点在x上，先求点1和n到x的距离只和，很显然x点在1到n之间，然后再求2和n-1到x的距离之和，很显然x点在2和n-1之间，如此重复下去，x的范围不断减小，最后成为中位点。

 

问题描述：

一个街区有很多住户，街区的街道只能为东西、南北两种方向。

住户只可以沿着街道行走。

各个街道之间的间隔相等。

用(x,y)来表示住户坐在的街区。

例如（4,20），表示用户在东西方向第4个街道，南北方向第20个街道。

现在要建一个邮局，使得各个住户到邮局的距离之和最少。

求现在这个邮局应该建在那个地方使得所有住户距离之和最小；

输入

第一行一个整数n<20，表示有n组测试数据，下面是n组数据;
每组第一行一个整数m<20,表示本组有m个住户，下面的m行每行有两个整数0<x,y<100，表示某个用户所在街区的坐标。
m行后是新一组的数据；

输出

每组数据输出到邮局最小的距离和，回车结束；

样例输入

2
3
1 1
2 1
1 2
5
2 9 
5 20
11 9
1 1
1 20

样例输出

2
44

问题分析：这个问题初看可以用暴力方法求解，题中所要求的的数据量不是很大，因此自己写的时候也是直接求解具体思路就是：用所有x,y的可能值带入所有给定的点中求出距离distance，对于每组(x,y)值求出的distance不同，从中找出一个mindistance即可。
　　　　　　具体代码如下

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int n,m,x[50],y[50];
    cin>>n;
    int mindistance;
    while(n--)
    {
        mindistance=99999;　　//最小距离初始化为一个很大的值
        memset(x,0,sizeof(x));　　//所有居民点的横坐标数组
        memset(y,0,sizeof(y));　　//所有居民点的纵坐标数组
        cin>>m;
        for(int i=1;i<=m;i++)　　//循环输入每个居民点对应的横纵坐标值
        {
            cin>>x[i]>>y[i];
        }    
        for(int i=1;i<100;i++)　　
        {
            for(int j=1;j<100;j++)　　　//双循环表示地图中所有的点
            {
                int distance=0;
                for(int s=1;s<=m;s++)　　//
                {
                    distance+=abs(x[s]-i)+abs(y[s]-j);　　//地图中每个点到给定居民点的距离和    
                }
                if(distance<mindistance)
                {
                    mindistance=distance;　　
                }
            } 
        }
        cout<<mindistance<<endl;
    }    
    return 0;
}

这个方法其实不是很好，可以看出代码中用了一个三层循环时间复杂度为O(n³)，如果题目数据量稍微改大一点，这个算法的效率就会很低。看了答案给的最优算法，一种不同的思路，效率很高，很赞！

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int x[30],y[30],n,m,i;;
int main()
{
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>m;
        for(i=0;i<m;i++)
            cin>>x[i]>>y[i];
        sort(x,x+m);
        sort(y,y+m);
        int sum=0;
        for(i=0;i<m/2;i++)
            sum+=x[m-1-i]-x[i]+y[m-1-i]-y[i];
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
} 

这个算法思路有一定的技巧，时间复杂度为O(n²)。