CodeForces-2138B Antiamuny Wants to Learn Swap

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tag: *1900；逆序对，单调栈，双指针

对于长度为 \(m\) 的数组 \(b\)，你可以进行以下两种操作：

1. 选择一个下标 \(1\le i\le m-1\)，然后交换 \(b_i\) 和 \(b_{i+1}\) 的值。
2. 选择一个下标 \(1\le i\le m-2\)，然后交换 \(b_i\) 和 \(b_{i+2}\) 的值。

定义：

• \(f(b)\) 表示使用任意多次操作 1 和 一次 操作 2 将数组 \(b\) 重排为非递减序列所需的最小操作次数；
• \(g(b)\) 表示 只使用操作 1 将数组 \(b\) 重排为非递减序列所需的最小操作次数。

如果 \(f(b) = g(b)\)，那么这个数组 \(b\) 被称为 完美 的。

给定一个长度为 \(n\) 的 排列 \(a\)。回答 \(q\) 次询问，每次询问给定 \(l,r\)，判断连续子数组 \(a[l..r]\) 是否为完美的。

\(1\le t\le 5\times10^4\)，\(1\le n, q,\sum n,\sum q\le 5\times 10^5\)。

通过操作 1 总可以对 \(a\) 进行排序，操作数即为 逆序数。

考虑操作 2 的影响是什么。假设现在要将 \(3,2,1\) 排序，本来需要先进行两次操作 1 变为 \(1,3,2\)，再进行一次操作 1 变为 \(1,2,3\)，但有了操作 2，就可以进行一次操作 2，直接变为 \(1,2,3\)（一次减少 \(\ge2\) 个逆序对）。

扩展一下，在用操作 1 不断将后面的元素往前面交换的过程中，我们可以构造一个局面出现 \(a_{i}>a_{i+1}>a_{i+2}\)，从而像上面一样，减少操作数。

而可以用操作 1 构造出这样的局面，当且仅当存在 \(i<j<k\) 满足 \(a_i>a_j>a_k\)。这也是 \(f(a)\ne g(a)\) 的充分条件。

那如果不存在 \(a_i>a_j>a_k\)，是否一定满足 \(f(a)=g(a)\) 呢？答案是肯定的，因为在这种情况下，用操作 2 至多能减少一个逆序对，和操作 1 的作用相同。

现在问题就变为，给定 \(l,r\)，判断是否存在 \(l\le i<j<k\le r\) 满足 \(a_i>a_j>a_k\)。

设 \(L(j)\) 为满足 \(i<j\) 且 \(a_i>a_j\) 的最大的 \(i\)，\(R(j)\) 为满足 \(k>j\) 且 \(a_k<a_j\) 的最小的 \(k\)，显然 \(L(j)<R(j)\)。

那么 \(l,r\) 满足条件当且仅当存在 \(l\le j\le r\) 满足 \(l\le L(j),R(j)\le r\)。序列 \(L,R\) 可以用 单调栈 求出。

因此，问题转化为，给定 \(n\) 个区间 \([L(j),R(j)]\)，每次判断是否存在 \([L(j),R(j)]\subset[l,r]\)，若存在则 \([l,r]\) 是不完美的。

预处理 \(f(l)=\min\limits_{L(j)\ge l}\{R(j)\}\)，则 \([l,r]\) 是不完美的当且仅当 \(r\ge f(l)\)。

\(O(n\log n)\)：将区间 \([L(j),R(j)]\) 按左端点从小到大为第一关键字、右端点从小到大为第二关键字排序，然后双指针处理。

\(O(n)\)（官方题解）：没看懂。

Submission #346927072 - Codeforces