CodeForces-1593D2 Half of Same

*CodeForces-1593D2 Half of Same

tag: *1900；数学，整除，枚举

给定长度为 \(n\) 的序列 \(a_1,\cdots,a_n\)，其中 \(n\) 为偶数。求最大的正整数 \(k\)，符合下述条件：

• 执行任意次操作，每次操作选定一个 \(a_i\)，将其减去 \(k\)，最终使得序列 \(a\) 中至少一半的元素相等。

如果 \(k\) 可以任意大，输出 \(-1\)。\(1\le t\le10\)，\(4\le n\le40\)，\(|a_i|\le10^6\)，\(\sum n\le100\)。

首先，\(k\) 可以任意大，当且仅当初始序列中就有一半以上的数相等。

如果确定了 \(k\)，那么对每个数减去 \(k\)，不改变对 \(k\) 取模的余数。换句话说，两个数可以变为相等当且仅当它们属于同一个模 \(k\) 的同余类。

同时，两个数 \(a,b\) 属于同一个模 \(k\) 的同余类，即 \(a\equiv b\pmod k\)，当且仅当 \(k\mid a-b\)。

注意到 \(n\) 很小，枚举 \(a_i,a_j\) 属于同一个同余类，那么 \(k\) 一定为 \(|a_i-a_j|\) 的约数，因此再从大到小枚举 \(|a_i-a_j|\) 的所有约数作为 \(k\)，验证是否合法。时间复杂度 \(O(tn^3\sqrt A)\)，其中 \(A\) 为 \(a\) 的极差。

时间很紧，需要精细实现。具体来说，check 函数一定要传入使至少半个序列元素相等的那个值，即余数 \(r=|a_i-a_j|\bmod k\)，然后直接数出 \(a_i\bmod k=r\) 的数量（而不是开个数组记录所有可能的同余类中元素数量，这样会很慢）。

注意负数取模写成 (a % MOD + MOD) % MOD。Submission #344440231 - Codeforces