P7419 「PMOI-2」参天大树 题解

考虑递推

设 \(f[k]\)为层数为 \(k\) 时的贡献， \(siz\) 为上一次树的大小，即这次左子树或右子树的大小。

可以发现，随着层数的加 \(1\) 至 \(k\) 层，所在同一层的节点产生的贡献与左右位置无关而只与其深度有关（因为整棵树为满二叉树，所以同层的任何两个节点的位置结构相同，成为 \(LCA\) 的次数也相同），因此，我们可以通过交换节点将新的满二叉树的两颗子树看作原来的 \(k-1\) 层的树编号扩大了 \(2\) 倍和扩大了 \(2\) 倍再加 \(1\)，因此左子树产生的贡献为 \(f[k-1]\) 的二倍，右子树产生的贡献为 \(f[k-1]\) 的二倍再加上 \(LCA\) 在右子树上的情况总数，即总共有 \(f[k-1]*2+siz*siz\) 点贡献，这样 \(LCA\) 在两颗子树上的情况（即 \(i\) 和 \(j\) 都同在一颗子树上）就解决了，我们考虑 \(i\),\(j\) 在不同的子树上和在根节点的情况，而因为以下情况产生的贡献都为 \(1\)，因此贡献数就等于情况数。

• 当 \(i\) 和 \(j\) 分别在两颗不同子树上时，一共有 \(siz*siz*2\) 种情况（ \(i\),\(j\) 的值可互换，因此要乘 \(2\)）。
• 当 \(i\) 和 \(j\) 其中一个为根节点时，共有 \(siz*2*2\) 种情况（两颗子树大小共为 \(siz*2\)，\(i\),\(j\) 的值可互换再乘 \(2\)）。
• 当 \(i\) 和 \(j\) 都为根节点时，有一种情况。

因此总递推式为：

\[f[i]=f[i-1]*2+f[i-1]*2+siz*siz+siz*siz*2+siz*2*2+1 \]

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll mod=998244353;
ll f[1000006];
int main()
{
	f[1]=1;
	ll siz=1;
	for(int i=2;i<=1000000;i++)
	{
		f[i]=((f[i-1]<<2)+((siz*siz)<<1)+siz*siz+(siz<<2)+1)%mod;
		siz=((siz<<1)+1)%mod;
	}
	int T;
	cin>>T;
	ll k;
	while(T--)
	{
		scanf("%lld",&k);
		printf("%lld\n",f[k]);
	}
}