莫比乌斯反演

莫比乌斯反演是一个十分玄幻的东西，它可以把\(o(n^2)\)的时间复杂度降到\(o(n\sqrt{n})\)甚至更低

1.公式

这是莫比乌斯反演最基本的东西，两个定义在正整数集上的函数\(F(n)\)和\(f(n)\)
若满足这个式子

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

则会有

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

2.莫比乌斯函数\(\mu\)

\(\mu\)是个神奇的东西，它是一个定义在正整数集上的函数

\[\mu(n)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & & n=1\\ (-1)^k & & n=p_1p_2p_3...p_k (其中p_i为互异质数)\\ 0 & & 其他情况\\ \end{array} \right. \]

这是前50个莫比乌斯函数的取值

它有两个性质
性质一：

\[\sum_{d|n}{\mu(d)}=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & & n=1\\ 0 & & n!=1 \end{array} \right. \]

性质二：

\[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n} \]

3.莫比乌斯反演的实现

其实线性筛就能求出\(\mu\)
代码：

void get(int n){
    m[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++cnt]=i;
            m[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt and pri[j]*i<=n;j++){
            int k=pri[j]*i;
            vis[k]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                m[k]=0;
                break;
            }else m[k]=-m[i];
        }
    }
}

4.莫比乌斯反演的实际运用

例题1：Luogu2568 GCD 题解
例题2：bzoj2440: [中山市选2011]完全平方数 题解
例题3：Luogu1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题解