随笔分类 - 4. ---------------数学---------------
摘要：前言 积性函数是OI中的数论题的重要组成部分 （一般都是涉及到各种因数啊，倍数啊，gcd啊 前置知识 整除分块（引理） 有下面这样一个式子： \(\sum_{i=1}^n \left \lfloor {n \over i}\right \rfloor\) 求这样一个东西需要多久？\(O(n)\)？
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摘要：一、记号 用求和记号可以很好地将很长的式子变为一个较短的式子。 $$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n 1}+a_n=\sum_{i=1}^n a_i$$ $\sum$ 下面是下界，上面是求和的上界。上面的式子也可以这样写： $$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n 1}+a_n=
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摘要：Description Snuke从他的母亲那里得到了生日礼物——一个网格。网格有H行W列。每个单元格都是黑色或白色。所有黑色单元格都是四联通的，也就是说，只做水平或垂直移动且只经过黑色单元格即可从任何黑色单元格移动到任何其他黑色单元格。 第i行第j列的单元格的颜色由字符si,j表示。如果si,j是
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摘要：FWT 是处理位运算卷积的有效工具…… 原理……不懂，但背板子很简单，在这贴博客是为了放个模板，免得到时候忘记。 其中0为或卷积，1为与卷积，2为异或卷积……
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摘要：Description 在2016年，佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数，非常开心。 现在他想计算这样一个函数的值: $$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$ $S(i,j)$表示第二类斯特林数，递推公式为:$S(i,j)
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摘要：Description $N$座高楼，高度均不同且为$1~N$中的数，从前向后看能看到$F$个，从后向前看能看到$B$个，问有多少种可能的排列数。 $T$组询问，答案模$1000000007$。其中$n\leq 2000,T\leq 100000$ 题解： 可以考虑现将最高的拿出来，那么可以考虑左边
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摘要：在组合数学，Stirling 数可指两类数，第一类Stirling 数和第二类 Stirling 数，都是由18世纪数学家 James Stirling 提出的。 Stirling 数有两种，第一类和第二类Stirling 数 第一类斯特林数： 形如$\left[\begin{matrix}n\\m
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摘要：传送门 Description 有一张$n\times m$的数表，其第$i$行第$j$列 $(1≤i≤n,1≤j≤m)$ 的数值为能同时整除$i$和$j$的所有自然数之和。现在给定$a$，计算数表中不大于$a$的数之和。 有一张$n\times m$的数表，其第$i$行第$j$列 $(1≤i≤n,
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摘要：这是一个玄学的东西…… 杜教筛能够在$O(n^{\frac{2}{3}})$内算出积性函数的前缀和 原理： 对于一个积性函数，要求 $$S(n)=\sum_{i=1}^n f(i)$$ 需要根据函数 $f(n)$ 的性质，构造一个 $S(n)$ 关于 $S(\lfloor\frac{n}{i}\rf
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摘要：Description 给你$n$,$m$，求 $\sum^n_{i=1} \sum^m_{j=1} \ lcm(x,y)$ 答案对$100000009$取模。 多组数据。 给你$n$,$m$，求 $\sum^n_{i=1} \sum^m_{j=1} \ lcm(x,y)$ 答案对$10000000
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摘要：莫比乌斯反演——神奇、玄学、哲学…… DEEP ♂ DARK ♂ FANTASY 回到正题，首先什么是反演？？！！ 设 $ F(n) = \sum^n_{x=1} f(x) $ 我们定义了一个关于 f(x) 的函数，很容易通过 f(x) 得到 F(x)。 而通过 F(x) 求 f(x) 的过程就是反
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摘要：Description 四年一度的幻想乡大选开始了，最近幻想乡最大的问题是很多来历不明的妖怪涌入了幻想乡，扰乱了幻想乡昔日的秩序。但是幻想乡的建制派妖怪（人类）博丽灵梦和八云紫等人整日高谈所有妖怪平等，幻想乡多元化等等，对于幻想乡目前面临的种种大问题却给不出合适的解决方案。 风间幽香是幻想乡里少有的
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摘要：来两道矩阵树模板： T1：【bzoj4031】[HEOI2015]小Z的房间 Description 你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。你想要打通一些相邻房间
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摘要：当你要求满足： $$ A^x \equiv B \ (\bmod \ P) $$ 的最小非负整数 x （gcd(A,P)==1）就可以用到 BSGS 了 设 $ m=\sqrt{P} $ 向上取整 处理一下那个式子： $$ A^{i \times m-j} \equiv B \ (\bmod \ P
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摘要：Description 脸哥最近在玩一款神奇的游戏，这个游戏里有 n 件装备，每件装备有 m 个属性，用向量zi(aj ,.....,am) 表示 (1 <= i <= n; 1 <= j <= m)，每个装备需要花费 ci，现在脸哥想买一些装备，但是脸哥很穷，所以总是盘算着怎样才能花尽量少的钱买尽
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摘要：Description A 国共有 n 座城市，这些城市由 n-1 条道路相连，使得任意两座城市可以互达，且路径唯一。每座城市都有一个幸运数字，以纪念碑的形式矗立在这座城市的正中心，作为城市的象征。一些旅行者希望游览 A 国。旅行者计划乘飞机降落在 x 号城市，沿着 x 号城市到 y 号城市之间那条
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摘要：线性基是一个神奇的东西！！…… 定义： 设数集T的值域范围为[1,2n?1] T的线性基是TT的一个子集A={a1,a2,a3,...,an} A中元素互相xor所形成的异或集合，等价于原数集TT的元素互相xor形成的异或集合。 可以理解为将原数集进行了压缩。 性质： 1.设线性基的异或集合中不存在
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摘要：Lucas： 卢卡斯定理说白了只有一条性质 $$ C^n_m \equiv C^{n/p}_{m/p} \times C^{n \bmod p}_{m \bmod p} \ (mod \ \ p) $$ 用于 m，n 很大时快速求组合数。（p 为质数） CODE： 证明： 前置技能：二项式定理 对于
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摘要：刚学完 高斯消元，我们来做几道题吧！ T1：【BZOJ3143】【HNOI2013】游走 Description 一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条
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摘要：高斯消元…… （裸的暴力） 如果你有一个n元的方程组你会怎么办？ Ans：直接用初中的解方程组的方法呀！ 没错，直接暴力加减消元。那什么是“高斯消元”？说白了，就是普通的加减消元罢了。 本人再考场上打了一个暴力解方程，大家都说要高斯消元，弄得我方极了，最后才发现我打的暴力就是高斯消元 流程 代码实现
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