题解：AT_abc294_g [ABC294G] Distance Queries on a Tree

题目链接

https://www.luogu.com.cn/problem/AT_abc294_g

分析

先不考虑修改。

设 \(dist_i\) 表示从根节点到第 \(i\) 号节点的距离，\(\operatorname{lca(u,v)}\) 表示树上两点 \(u,v\) 的最近公共祖先，那么 \(u,v\) 两点间的距离就是 \((dist_u-dist_{\operatorname{lca(u,v)}})+(dist_v-dist_{\operatorname{lca(u,v)}})\)，即 \(dist_u+dist_v-dist_{\operatorname{lca(u,v)}}\times 2\)。

对于修改操作，考虑使用 dfs 序。

设 \(in_i\) 表示节点 \(i\) 入栈的时间戳，\(out_i\) 表示节点 \(i\) 出栈的时间戳，那么节点 \(i\) 的子树在新的线性序列上对应的区间就是 \([in_i,out_i]\)。

对于一条要被修改的边，设 \(x_1\) 表示原来的权值，\(x_2\) 表示修改后的权值，\(son\) 表示这条边上远离根节点的端点，那么就可以将新的线性序列上的区间 \([in_{son},out_{son}]\) 都作 \(-x_1+x_2\) 的操作，即对节点 \(son\) 的子树上的每一个点到根节点的距离，都 \(-x_1\)（消除原来边的影响）再 \(+x_2\)（加上新边的权值）。

可以使用差分 + 树状数组快速实现对序列的区间修改。

本题中距离最多可达到 \(2 \times 10^{14}\)，需要开 long long。

细节内容见代码注释。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define i64 long long
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
using namespace std;

const int N=2e5;
int n,q;

int tot_edge,hd[N+5];
struct Edge{int frm,to;i64 val;int lst;}g[N*2+5];
void add_edge(int u,int v,i64 w){
	g[++tot_edge]=Edge{u,v,w,hd[u]};
	hd[u]=tot_edge;
}

int tim,inn[N+5],outt[N+5];
int dep[N+5],f[N+5][30];
//dfs 序 + LCA 预处理 
void dfs(int x,int fa){
	inn[x]=++tim;
	
	dep[x]=dep[fa]+1,f[x][0]=fa;
	for(int i=1;i<=25;++i)
		f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
	
	for(int i=hd[x];~i;i=g[i].lst)
		if(g[i].to^fa)dfs(g[i].to,x);
	
	outt[x]=tim;
	return;
}

//倍增求 LCA 
int Lca(int x,int y){
	if(dep[x]<dep[y])x^=y,y^=x,x^=y;
	
	for(int i=25;~i;--i)
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];
	if(x==y)return x;
	
	for(int i=25;~i;--i)
		if(f[x][i]^f[y][i])
			x=f[x][i],y=f[y][i];
	return f[x][0];
}

//树状数组 
i64 tr[N+5];
int lowbit(int x){return x&-x;}
void upd(int x,i64 v){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		tr[i]+=v;
	return;
}
i64 ask(int x){
	i64 res=0;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		res+=tr[i];
	return res;
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(false),
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	memset(hd,-1,sizeof hd);
	
	int op,x1,x2,x3;
	
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;++i){
		cin>>x1>>x2>>x3;
		add_edge(x1,x2,x3),
		add_edge(x2,x1,x3);
	}
	
	dfs(1,0);
	
	//预处理每个点到根节点的距离 
	for(int i=1;i<=tot_edge;i+=2){
		x1=g[i].frm,x2=g[i].to;
		
		//寻找远离根节点的端点 
		if(dep[x1]<dep[x2])
			//相当于 swap(x1,x2) 
			x1^=x2,x2^=x1,x1^=x2;
		
		//将子树上每一个点到根节点的距离都加上这条边的权值 
		upd(inn[x1],g[i].val),
		upd(outt[x1]+1,-g[i].val);
	}
	
	cin>>q;
	while(q--){
		cin>>op>>x1>>x2;
		
		//修改 
		if(op==1){
			x1*=2;//链式前向星存的是双向边，应将编号 *2 
			int u=g[x1].frm,v=g[x1].to;
			//找到远离根节点的端点 
			if(dep[u]<dep[v])u^=v,v^=u,u^=v;
			
			//消除原边影响 
			upd(inn[u],-g[x1].val),
			upd(outt[u]+1,g[x1].val);
			
			//加上新边权值 
			upd(inn[u],x2),
			upd(outt[u]+1,-x2);
			g[x1].val=x2;
		}
		//查询 
		else{
			x3=Lca(x1,x2);
			
			cout<<ask(inn[x1])+ask(inn[x2])-ask(inn[x3])*2<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}