[DP?]素数筛+Lucas定理+费马小定理

Description

在杨辉三角中，从第一行第一列\((0,0)\)开始，每次可选择向正下方走或向右下方走，走到第\(n\)行时不能超过第\(n\)行第\(k\)个元素，询问所经过路径的值的和的最小值\(mod(p)\)，一共有T组询问，\(T \leq 100000\)， \(0 \leq k \leq n \leq 1e9\), 保证\(p\)是质数， 其中\(p < 1e4\)

Solution

名字虽然是DP，但是可以找出最优方案。
优先考虑\(k \leq \frac{n}{2}\)的情况，先向下走\(n-k\)步到达\((n-k-1,0)\)
再一路沿着右下方走，直到到达底部，即有\(C_{n-k}^{0}+C_{n-k+1}^{1}+C_{n-k+2}^{2}+...+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\)
通过变换\(C_{n-k}^{0} = C_{n-k+1}{0}\)
再通过公式\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m}+C_{n-1}^{m-1}\)可将上述公式合并
得到\(C_{n+1}^{k}\)
所以答案为\(C_{n+1}^{k}+n-k\)
当\(k > \frac{n}{2}\)时，根据对称性，令\(k=n-k\)即可转化成上一种情况
又发现题目涉及组合数取模，所以要用到费马小定理

费马小定理:
假如\(a\)是一个整数，\(p\)是一个质数，且\(gcd(a,p)=1\)，即\(a,p\)互质，那么有\(a^{p−1}≡1(modp)\)

已知\(a^{p-1}≡1\)，可以得到\(a \cdot a^{p-2}≡1\)，我们称\(a\)和\(a^{p-2}\)为在\(mod(p)\)意义下的乘法逆元
然而这只解决了除法取模的问题，注意到\(n\)的范围在\(1e9\)直接计算组合数又是铁套老鹅(TLE)，于是借助Lucas定理

Lucas定理
对于质数\(p\),有\(C_n^m\ mod \ p = C_{\lfloor \frac{n}{p} \rfloor}^{\lfloor \frac{m}{p} \rfloor} \cdot C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p} \ mod \ p\)

可知\(n\ mod\ p\)和\(m\ mod\ p\)一定是小于\(p\)的数，可直接求解，其余部分继续用Lucas定理求解，当\(m=0\)的时候返回\(1\)

long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {
  if (m == 0) return 1;
  return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;
}

有了这些工具之后就可以预处理阶乘和逆元了

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cstring>
#include <queue>
typedef long long LL;
const int MAXN = 10000;
using namespace std;
LL N,K,MOD;
bool isnotp[MAXN + 10];
LL pri[1500], num = 0;//素数表
int f[1300][MAXN];//阶乘
int inv[1300][MAXN];//逆元

inline void Euler() {
	isnotp[1] = true;
	memset(isnotp, false, sizeof(isnotp));
	for (int i = 2; i <= MAXN; i++) {
		if (!isnotp[i]) pri[++num] = i;
		for (int j = 1; j <= num && i*pri[j] <= MAXN; j++) {
			isnotp[i*pri[j]] = true;
			if (i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

LL fffpow(LL x, LL y, LL pp) {
	LL sum = 1;
	LL a = x;
	while (y) {
		if (y&1) {
		sum = (sum*a) % pp;
	}
		a = (a*a)%pp;
		y>>=1;
	}
	return (sum)%pp;
}

int cnt = 0;

inline LL Lucas(int N,int M,int o)
{
	LL a,b,ans=1;
	while(N && M) {
      a = N%pri[o];
	  b = M%pri[o];
      if(a < b)return 0;
      ans = ans*f[o][a]%pri[o]*inv[o][b]%pri[o]*inv[o][a-b]%pri[o];
      N /= pri[o];
	  M /= pri[o];
	}
  return ans;
}
 

int main() {	
	Euler();
	for(int i = 1; i <= num; i++) {
      	f[i][0] = f[i][1] = 1;
      	inv[i][0] = inv[i][1] = 1;
    	for(int j = 2;j < pri[i]; j++) {
          f[i][j] = f[i][j-1]*j % pri[i];
          inv[i][j] = fffpow(f[i][j], pri[i]-2, pri[i]);
		}
	}
	while (cin >> N >> K >> MOD) {
		LL ans;
		if(K > N/2) K = N - K;
      	int l = 1, r = 1229;
      	while(l <= r) {
        	int mid = (l + r) >> 1;
        	if(MOD < pri[mid]) r = mid - 1;
        	else l = mid + 1;
		}
		ans = (Lucas(N + 1, K, l - 1) + N - K)%MOD;
		printf("Case #%d: %lld\n", ++cnt, ans);	
	}
	return 0;
}