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题面 决战圣诞树 题解 设 $a_i$ 表示最终满意指数为 $i$ 的方案数，我们考虑求出 $a_i$ 的生成函数。 那么树上每个点都要维护一个多项式，表示仅对于这个点的 $a_i$ 的生成函数。 那么题目就可以看成支持以下几个操作： 给定 $v,a$，将节点 $v$ 的多项式乘上 $(1+x^a) 阅读全文
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题面 作曲家 题解 这种序列相似的见过很多次，但一直不会做，今天终于知道一个套路了。 记 $s$ 与 $t$ 相似为 $s\sim t$。显然这个 “相似” 是有传递性的，即若 $a\sim c$ 且 $b\sim c$，那么 $a\sim b$。 前置知识/定义 概率相关的定义 定义 $\over 阅读全文
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题面 简单的计数题 题解 首先题意可以转化为：给你一个长度为 $n$ 的序列 $c$，求将 $c$ 分成两个长度为 $\dfrac{n}{2}$ 的相同的子序列的方案数。 考虑 dp，设 $f(i,sta)$ 表示已经将 $c$ 的前 $i$ 位分成了两个子序列，其中长的子序列比短的子序列多出来的未 阅读全文
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题面 简单的博弈题 题解 对于贪心的对手的情况，田忌赛马即可。 对于随机的对手，发现使用任何策略都不影响结果。那我们只需要选一种自己数字的排列并固定下来，再去和对手的数字的 $m!$ 种全排列匹配即可。 暴力枚举全排列是不可接受的，考虑自己选一种特殊的数字排列固定，以优化计算。 考虑将自己的数字排序 阅读全文
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题面 取石子游戏 题解 我们把一个有 $n$ 个石子， Alice 每次能拿 $a$ 个， Bob 每次能拿 $b$ 个的堆称为状态 $(n,a,b)$。石子数太大的时候不利于分析，尝试简化一下： 可以证明状态 $(n,a,b)$ 的结果同 $(n\bmod (a+b),a,b)$ 状态的结果相同。 阅读全文
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题面 行列式 题解 马神说：这可能是本场比赛最简单的一道题。 黑人问号脸.jpg （这篇题解我很多地方写得很简略或很不严谨，所以如果有些地方看不懂请自己推一推） 考虑构造矩阵 $B=(x)_{n\times n}$，然后设矩阵 $C=A-B$。 那么矩阵 $C$ 满足 $C_{p_i,i}=b_i- 阅读全文
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题面 完美串 题解 考虑一个完美串 $s$ 应该满足什么性质。 若 $s$ 中 $0$ 和 $1$ 数量相同，那么显然是 $01$ 交错的。 否则不妨设 $1$ 比 $0$ 多，那么循环意义下一定有连续的 $11$，不然 $1$ 不可能比 $0$ 多。 又由于有连续的 $11$，那么就不能有连续的 阅读全文
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题面 平方问题 题解 记 $p=998244353$，那么 $a^{p-1}\equiv 1\pmod p$。（$\gcd(a,p)=1$） 那么 $a^b\equiv a^{b\bmod (p-1)}\pmod p$。 题目的操作相当于每次把一个数的指数乘上 $2$，那么每个数都能表示成 $a^{ 阅读全文
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题面 PQ 树 题解 注意到题目中提到了 “合法的 PQ 树都能表示出 $1,2,3,\cdots,n$ 这个排列"。那么如果我们把所有叶子节点按它们的数字按 $1\sim n$ 从左到右排，形成的 PQ 树是没有相交边的，也就是说不会出现这种情况： 你也可以理解成一棵子树一定存着的是一段连续的数字 阅读全文
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题面 二叉树 题解 设 $f_n$ 表示叶子数为 $n$ 的答案，容易得出以下式子： $$ \begin{aligned} &f_0=0,f_1=1\ &f_n=\sum_{i=1}^n c_if_if_{n-i} \end{aligned} $$ 其中 $c_{s_i}=v_i$，其余的 $c_i 阅读全文
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题面 简单的数据结构题 题解 直接考虑我们要计算的式子。为了方便，我们先设 $l=1,r=n$。 $$ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^na_i^k\prod_{j\neq i}\frac{1-a_ia_j}{a_i-a_j}\ =&\sum_{i=1}^na_i^k \le 阅读全文
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题面 简单的几何题 题解 易知 $v\neq 0$，那么直接考虑条件： $$ \begin{aligned} \left(x_iu^2+x_i-uv-y_iv\right)b^2&\leq \left(x_ia^2+x_i-ab-y_ib\right)v^2\ \frac{x_iu^2+x_i-uv 阅读全文
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题面 线图 题解 大力分类讨论题。 显然，$L(L(T))$ 中的点代表着 $T$ 上的一条三点链。 所以 $L(L(T))$ 上两点的最短路显然是沿着 $T$ 上两条三点链间的唯一路径走。 然后就可以大力分类讨论了。 有很多种情况，这里举一种情况吧： 如图，我现在想从红线框起来的三点链走到蓝线框起 阅读全文
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题面 数数 题解 ~~tm怎么天天数数（~~ 考虑一个点数为 $n$ 的有向完全图：对于边 $i\to j$ 来说，若 $i<j$ 则边权为 $x$，否则边权为 $1$。 显然答案就是这张图中以 $r$ 为根的且边权乘积为 $x^m$ 的内向树个数。 考虑矩阵树定理。 先推出基尔霍夫矩阵 $K$： 阅读全文
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题面 分数 题解 手推一下发现最优策略是：（不会证） 若 $x<0$，则不断 $x\gets x+1$ 直到 $x\geq 0$ 为止。 若 $x>0$，则 $x\gets -\dfrac{1}{x}$。 若 $x=0$，终止。 也就是说，设开始时 $x=\dfrac{a}{b}<0$（若 $x>0 阅读全文
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题面 数学作业 题解 看到 $m$ 很大，联想到矩阵快速幂。 由于对于每个初始的 $x$，它变成 $1$ 的方法是唯一的。所以我们可以考虑从 $1$ 倒推，这样用不同的方法倒推得到的数肯定是不同的，所以不会算重。 为了方便，我们从 $0$ 而不是 $1$ 开始倒推，此时原来倒推 $m$ 步就变成了倒 阅读全文
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题面 XOR 题解 以下对于一个数 $x$，用 $x_i$ 表示 $x$ 在二进制下的第 $i$ 位。如果这个数本身就带下标，如 $a_k$，那么用 $a_{k,i}$ 表示 $a_k$ 在二进制下的第 $i$ 位。 发现带上绝对值很难搞，考虑如何确定绝对值的符号： 对于 $|a-b|$ 来说，我们 阅读全文
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题面 迷宫 题解 不妨把只由左向边形成的图称为 “左图”，那么 “右图” 的定义同理。 如果只从图论的角度推，还是能推出来很多东西的。 比如： 当 $X=Y=Z=0$ 时，右图能任意连，而左图只能是一些环。 否则，左图和右图都只能是环。 但你发现接下来很难做。 所以考虑用数学表示图论，这样就有更多性 阅读全文
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题面 数数题 题解 ~~让多项式完全入门、求导积分0基础的来做这个？？?~~ 赶紧看来一波高中选修2-2，才来硬推这道题。 所以说有一些对于巨佬们来说很简单就能推出来的东西，我可能反而会用一些更加复杂的方法。 题目可以看成是对于所有的 $k$ 求出： $$ \lim_{\Delta x\righta 阅读全文
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题面 字符串题 题解 设所有长度不超过 $n$ 的串的集合为 $S$。 考虑找到一种方法，能够对一个 lyndon 串 $A$ ，直接求出 $A$ 的下一个 lyndon 串。方法如下： 先将 $A$ 不断复制， 取出前 $n$ 位作为新的 $A$ ，即 $A\leftarrow AAA⋯$ 的前 阅读全文
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题面 直线 题解 注意到题目没有给什么特殊的性质，除了直线随机生成。 所以考虑随机化算法或均摊算法。 有一种很神奇的分块做法： 考虑将整个平面分成 $B\times B$ 块，每块大小 $\dfrac{10^9}{B}\times\dfrac{10^9}{B}$，而且每一个块记录一下有哪些直线经过它 阅读全文
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题面 切割 题解 考虑这么一个边都和坐标轴平行的不规则图形，经过水平或竖直切割后，如何判断切割后的图形是个矩形。 容易发现，如果切出来后的图形没有凹进去的点，它就是一个矩形。 那么假设一开始有 $ao$ 个凹点，那么你的目标就是让凹点的个数变为 $0$。 然后对于一种切法，如果它不经过凹点，我们肯定 阅读全文
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题面 强度 题解 首先题目的要求肯定要转化。 有多种转化方法，例如：（其中 $s_i$ 代表以 $i$ 为根节点的子树大小） $$ \begin{aligned} \Epsilon(w(T))=&\Epsilon\left(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\operatorn 阅读全文
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题面 相似 题解 可以发现，$S$ 和 $T$ 相似，等价于它们的最长公共子序列长度至少为 $n - k$。 首先考虑如何求出两个字符串的 $\text{LCS}$（最长公共子序列）。考虑 dp： 设 $f_{i,j}$ 表示 $S[1\sim i]$ 与 $T[1\sim j]$ 的 $\text 阅读全文
posted @ 2022-10-30 14:02
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设 $dp(i,t,l)$ 表示已经定好前 $i$ 层，共有 $t$ 个节点，其中第 $i$ 层有 $l$ 个节点。 直接转移即可，注意一些细节： 第 $1$ 层只有 $1$ 号节点。 同层之间可以乱连，相邻层之间可以乱连，跨层之间不能连。 需要钦定 $n$ 号点在第 $m+1$ 层。 #inclu 阅读全文
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不妨令 $k=m-k$，那么题目的意思就是至多删去 $k$ 条边。 首先二分答案 $t$，然后求最少需要删去多少的边，如果最少需要删去的边 $\leq k$ 则合法。 在原图中统计每一个点的入度-出度，记为 $d_u$。 首先对于每一条边 $(u,v)$，从 $u$ 向 $v$ 连边 $\big([ 阅读全文
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题面 题解 假设 $S$ 到 $T$ 路径上一条边 $(u,v)$ 被删掉之后最短路会如何变化。 建出以 $T$ 为根的最短路树，如果 $(u,v)$ 不在树上，那么我们直接从 $u$ 沿着最短路树走到 $T$ 即可。 否则，如果 $(u,v)$ 在最短路树上，那么 $v$ 一定是 $u$ 的父亲。 阅读全文
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~~在 “XSY未完成” 题单里咕了好久的题。~~ 题面 漏网之鱼 题解 为了方便表述，不妨设 $mex(l,r)$ 表示 $mex(a[l],a[l+1],\cdots,a[r])$。 首先，对于权值大于 $n+1$ 的 $a[i]$，我们直接把它设为 $n+1$ 就行了，因为 $mex$ 肯定不 阅读全文
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题面 题解 先对于每个 $x$ 轴上方的点，找到所有墙，按照极角排序，合并重合的墙。 对于每一个端点引一条射线，左端点的射线权值是 $+1$，右端点是 $-1$，可以发现一个点不能看到的点数等于这个点左边的射线的权值和。 观察到这些直线都经过至少一个墙的端点，可以将这些直线按照经过的端点分类，每一类 阅读全文
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题面 题解 ~~一开始竟然没反应过来是最小生成树。~~ 考虑用线段树直接维护每个区间的答案。 注意到一个区间最多只有 $n-1$ 条树边有用，所以线段树每个节点用一个 vector按权值从小到大保存区间内用到的树边即可。 合并两个区间的信息时，只需要将两棵子树存的树边归并排序，然后做 Kruskal 阅读全文
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题面 题解 明显地，这个QQ数可以用 $\mu$ 表示，于是询问就变成了这样： $$ \begin{aligned} & \sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\left(1-\mu(d)^2\right)\ =& \sum_{d=1}^n\left\lfloor\frac{n}{d}\rig 阅读全文
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记录一下两个结论。 有标号 $n$ 边形的三角剖分数等于 $B_{n-2}$，其中 $B$ 是卡特兰数。 证明： 考虑 DP，设 $C_n$ 为有标号 $n$ 边形的三角剖分数，考虑与 $1$ 号点相连的最小的那条边 $(1,1+i)$（若没有与 $1$ 号点相连的边则钦定与 $1$ 号点相连的最小 阅读全文
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题面 题解 先考虑一个节点怎么样才会被走到。 对于一个权值为为 $x$ 的节点，它的左子树内的节点有可能被走到仅当其权值小于 $x$，右子树内的节点有可能被走到仅当其权值大于 $x$。 那么树上每条边相当于给这条边以下的子树加了一个大于或是小于的限制，询问一个节点时，只要判断这个节点的权值是否同时满 阅读全文
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题面 题解 贪心。 从高位往低位考虑。 首先，如果当前位所有区间都能取到 $1$，那么我们就都取 $1$。 否则，肯定有区间不能取到 $1$，所以这一位并出来之后只能为 $0$。 而且当前所有区间可以分成这三类：这一位只能取 $0$ 的、这一位只能取 $1$ 的、这一位 $0$ 和 $1$ 都能取的 阅读全文
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考虑没有 $b_i$ 的限制怎么做。 先把 $n!$ 质因数分解：$n!=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{q_i}$。 设 $b_i=\prod\limits_{j=1}^kp_j^{x_{i,j}}$，那么 $b_i^{a_i}=\prod\limits_{j=1}^kp_j^{ 阅读全文
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考虑最普通的 DP：设 $f_{u,i,0/1}$ 表示 $u$ 子树内恰好包含 $i$ 条边的最大权匹配，其中 $u$ 有无被匹配。 这是个树上背包，暴力 DP 是 $O(n^2)$ 的。 可以发现 $f_{u,i,j}$ 关于 $i$ 是一个凸函数（从费用流的角度分析），这告诉我们合并两棵子树的 阅读全文
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题意：给一张 $n$ 个点 $m$ 条边的简单连通无向图，保证 $m$ 为偶数。可知度数为奇数的点共有偶数个，你需要将它们两两分组，对于每一组点 $u,v$，你要找到一条包含偶数条边的 $u$ 和 $v$ 之间的不重边路径，同时你要保证一条边至多在一条路径中出现。请求出任意一组构造方案。 $n,m\ 阅读全文
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题意：数轴上有无穷个格子，每个坐标上各有一个格子，你需要支持以下操作共 $n$ 次： 在 $x=k$ 这个格子前插入一个格子，并将所有 $x\geq k$ 的格子后移一位。时间++。 询问当前 $x=k$ 这个格子在时刻 $tim$ 的坐标。 $n\leq 5\times 10^5,x\leq 10 阅读全文
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原题不想说（太懒了），就说一下总结到的两点想法？ 对于树上多次询问路径信息的问题，如果两条路径的信息无法快速合并（即不能 pushup），但是在路径两端增加/删除单点后的信息变化可以快速得出，可以试一下能不能用询问离线+类似换根 DP 的方法维护：钦定当前根为路径一端，使用数据结构维护以每个点作为路 阅读全文
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题面 购物 题解 决策单调性全忘了…… 先考虑暴力怎么做，我们可以设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个商店买了 $j$ 件物品的最小代价，然后有转移： $$ f_{i,j}=\min_{k=0}^j(f_{i-1,k}+sa_{i,j-k}) $$ 其中 $sa_{i,j}$ 表示 $a_{i 阅读全文
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记录一下推导这题的时候发现的一个东西。 按照我一开始的推法，推出来是这个东西： $$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n\mu^2(i)\left\lfloor\sqrt{\frac{n}{i}}\right\rfloor^2 \end{aligned} $$ 其中 $\lef 阅读全文
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给出 ${a},{c}$，满足矩阵 $A_{i,j}=a_j^i$ 且 $A\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$，求 ${b}$。 移项变为 $\overrightarrow{b}=A^{-1}\cdot \overrightarrow{c}$，考 阅读全文
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XSY 押题！/se 对于一类问题： 有 $n$ 种不同的饮料，第 $i$ 种有 $a_i$ 升。你需要把它们分到 $m$ 个瓶子里面，每个瓶子容量为 $k$，你的分配方案需要满足： 每个瓶子都被装满，题目保证满足 $mk=\sum a_i$。 每个瓶子内至多有两种饮料。 求出任意一组合法的方案或判 阅读全文
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题意：转化后变为：给一张 $n$ 个点的图，你需要给每个点染上 $[1,k]$ 中的某个颜色，图上有 $m$ 条边，每条边 $(u,v)$ 有两种边权 $w_1$（当 $u,v$ 颜色相同时）和 $w_2$（当 $u,v$ 颜色不同时），求所有染色方案的图中边权积之和。 题解： 考虑一种颜色一种颜色 阅读全文
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题面 线段树 题解 本题分两 Part 走。 Part 1 我们需要解决： 如何在广义线段树上快速区间定位节点。 对于有 $n$ 个叶子节点、共 $2n-1$ 个节点的广义线段树 $A$，我们定义 $maxr_l$ 表示 $A$ 中所有以 $l$ 为左端点的区间的右端点的最大值，$minl_r$ 为 阅读全文
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题意：转化后变为：平面上给定 $n$ 个关键点，$q$ 次询问一个点与其左上的每个关键点形成的矩形面积的最大值。 题解： 挺玄妙的一题。 这里假设这 $n$ 个关键点都是 $x$ 单调不降且 $y$ 单调不降的（因为若点 $A$ 在点 $B$ 左上方则点 $B$ 肯定无用），注意这是个壳，但不一定是 阅读全文
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题面 取石子 题解 只考虑一方，每一个操作都可以写成 $x\gets \max(0,\min(S,x+B_i))$ 的形式。 法一： 定义 “碰壁” 表示当前 $x\gets \max(0,\min(S,x+B_i))$ 操作中对 $0$ 取 $\max$ 和对 $S$ 取 $\min$ 之一起了作 阅读全文
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一些记号： 记 $\mathbb{P}$ 为质数集，$p_i$ 表示第 $i$ 个质数。 记 $\operatorname{lpf}(x)$ 表示 $x$ 的最小质因数为第几个质数。 特别地，令 $\operatorname{lpf}(1)=\infty$。 设 $c_i$ 表示 $p_i$ 在 $ 阅读全文
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题意：给一个长度为 $n$ 的串 $S$ 和一个长度为 $b$ 的串 $B$，有 $m$ 个文本串，初始它们都是空串。需要支持 $q$ 个操作，每个操作要么是给某个文本串后面接上串 $B[l,r]$，要么是询问某个文本串在 $S$ 中的出现次数。 题解： 一开始的想法是后缀自动机，但 “给一个文本串 阅读全文
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考虑判断一个串是否能成为输出，贪心的方法肯定是优先在第一个串的 SAM 上匹配至匹配不了，再在第二个串的 SAM 上匹配至匹配不了，…… 于是可以考虑通过如下方式把 $n$ 个串的 SAM 拼起来： 如果一个点没有 $C$ 的转移边，那么就要向之后第一个包含字符 $C$ 的字符串的后缀自动机接受字符 阅读全文
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首先注意到一个性质：如果我们把权值相同且相邻的点归为一个连通块的话，那么一个叶子节点往上会经过至多 $O(\log V)$ 个连通块（因为父亲节点一定是儿子节点的子集）。 又注意到属于同一个连通块内的点，走的方向都是一样的。 那么如果我们能动态维护点的权值，询问从某个点开始走时，假设它会往左走（那么 阅读全文
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考虑累加种下第 $i$ 棵不同的树树到种下第 $i+1$ 棵不同的树之间的时间间隔，设 $f(i)$ 表示种了 $i$ 棵不同的树游戏仍未结束的概率，那么有： $$ \begin{aligned} ans&=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)\left(\sum_{t=0}^{\infty}\ 阅读全文
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一个听说很套路但我不会的套路：对于一个非 $1$ 数 $w_i$，把它看成是 $(w_i-1)+1$，于是原式变为： $$ ans=\sum_{e_1,\cdots,e_t}(n-t)!\prod_{i=1}^{t}(w_{e_i}-1) $$ 其中 ${e_1,\cdots,e_t}$ 是 ${1 阅读全文
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法一： 题解做法。不太好想。 动态维护不太好做，我们考虑先把栅栏最后长什么样维护出来。 扫描线，按 $x$ 从大到小扫描，过程中维护当前扫描线上的一些区间，每一个区间内的点同属于一个栅栏，然后扫描到一个栅栏的时候找到它下面的第一个区间：如果这个区间对应的栅栏出现时间比当前栅栏晚，那么之后这个区间会属 阅读全文
posted @ 2022-10-30 12:19
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显然有一个暴力的想法：我们先求出 $F_{i,j}$ 表示第 $i$ 张图内恰好走 $j$ 步走回原地的方案数（相邻时刻位置可以相同），那么再用容斥得到答案。 分为两个 Part：一是加速 $F_{i,j}$ 的求解过程，二是加速容斥和答案的求解过程。 先看第二个 Part：假设我们已经求出了所有的 阅读全文
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题意：给一张平面图，满足这张平面图的对偶图是一棵树，有若干限制，形如 “若经过点 $x$ 则必须要经过点 $y$”，求 $1\sim n$ 的最短路。 由于平面图与其对偶图互为对偶，所以平面图最短路等于其对偶图上的最小割。 注意这里的最小割和普通的最小割有点不一样，这里要求任意一条 $S\to T$ 阅读全文
posted @ 2022-10-30 12:19
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首先 “被经过的整点的期望个数” 不好求，我们可以把它看成 “每个整点被经过的概率的和”。 对于某个整点，求 “它被任意一个人经过的概率” 不好求，我们可以求 “它不被任意一个人经过的概率”，那么现在的问题是求某个整点不被某个人经过的概率，或者说求某个整点被某个人经过的概率。 把这个人看作原点，然后 阅读全文
posted @ 2022-10-30 11:01
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题意：给一个 $1\sim n$ 的排列，多次询问某段区间内的值域连续子区间的个数。 区间值域连续的另一种表达方式：$max-min=r-l$，即 $(max-min)-(r-l)=0$。 考虑 $l=1,r=n$ 怎么做，我们对 $r$ 进行扫描线，维护有多少个 $l$ 满足 $(max-min) 阅读全文
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题面 game 题解 首先可以看出 “等概率选连通块->连通块内等概率选点” 相当于 “全局等概率选点”。 一开始感觉无从下手，但是题目中还是给了一点提示。 题目让我们输出答案乘 $n!$ 后的结果，于是想到枚举一个 $1\sim n$ 的排列 $p_i$ 表示依次选择并删除的点的序列。那么对于某一 阅读全文
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”每个字符出现次数相等“ 可以使用差分简化：记录数组 $s_c$ 为字符 $c$ 的出现次数减去字符 $\texttt{"a"}$ 的出现次数，那么条件等价于 $s$ 数组全为 $0$。 维护 $s$ 数组的前缀和，那么就是要找 $(i,j)$ 使得 $i$ 处的 $s$ 的前缀和和 $j$ 处的 阅读全文
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一般这种 “分段，求每段极值和的最大值” 的题都有两个结论： 一段的最大值和最小值一定是该段的两个端点。 证明：如果不是的话：那么我们显然可以把最小值和最大值所在位置之间的部分提取出来作为一段，而其他的部分分离出去，这样得到的答案肯定不劣。 一段肯定是单调不增或单调不降的。 证明：如果不是的话：假设 阅读全文
posted @ 2022-10-30 11:01
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题目让我们动态维护一个堆，有两种操作：加入一个数、询问并取出最大值。 比较巧妙的地方是这两种操作是轮流进行的。我们可以用桶来维护这个堆，顺便记录一下当前桶内的最大值。 然后加入一个数时，若它比桶内最大值大，那么它在下一次询问的答案必然是它，那么我们就无需加入桶内，直接记录一下即可。否则它比桶内最大值 阅读全文
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时间复杂度的均衡。 先考虑暴力的想法：显然这是一棵基环树，那么我们每次修改时暴力 $O(nm)$ 重构基环树，然后询问的时候就能 $O(1)$ 查询。时间复杂度 $O(nmq)$。 考虑均衡时间复杂度，我们考虑只记录第一列的每个点 $i$ 走 $m$ 步之后会绕回第一列的哪个点，设为 $F_i$。那 阅读全文
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显然我们先缩点，之后转化为一个 DAG，设为 $G$，设由其反边构成的图为 $G'$。题意就是求所有 “好的” 点，其中一个 “好的” 点需要满足这个点在 $G$ 上能走到的点和在 $G'$ 上能走到的点的并集为所有点。 思路 1：显然一个点不可能同时在 $G$ 和 $G'$ 上都能被同一个点 $u 阅读全文
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先上一个结论。 一个长度为 $n$ 的 $01$ 序列，其每个子序列的异或和的和为 $[序列中包含 1]2^{n-1}$。 证明：考虑若不存在 $1$，则显然。否则若存在 $1$，随便选一个 $1$ 出来，不失一般性地设为第 $1$ 位，然后考虑第 $2\sim n$ 位的某个子序列的异或和 $s$ 阅读全文
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原题就不说了，记录一下其中要用的一个 trick。 定理：对于一个 $1\sim n$ 的随机排列，它的前缀最大值的期望个数为 $O(\log n)$。 证明：考虑元素 $x$ 作为前缀最大值的概率，这要求 $x+1,\cdots,n$ 都在 $x$ 后面出现，即在排列中抽出 $x,x+1,\cdo 阅读全文
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若已经知道了每个格子的颜色，我们可以用轮廓线 DP（类似插头 DP）判断棋盘是否能被多米诺骨牌填满，设 $dp[S]$ 表示是否存在某种填法使得轮廓线每个位置是否被填的状态为 $S$ 即可。 现在我们需要枚举每个格子的颜色，同时还要判断能否被填，所以我们要记录一维表示 $dp[S]$ 数组。 为了转 阅读全文
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设一个人被扣了 $i$ 滴血的概率为 $p_i$，设 $c_i=exp-i$ 且只有 $c_0,c_1,\cdots,c_{exp}$ 有值，那么题目就是在问 $\sum\limits_{i=0}^{exp}c_ip_i$。 我们设 $p_i$ 的生成函数为 $P(x)$，那么第 $i$ 次操作相当 阅读全文
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为了方便，我们肯定是先考虑有标号图的个数，再用 Burnside 引理去重，但是用 Burnside 引理时得先考虑清楚映射集合 $X$ 是哪个集合 $A$ 到哪个集合 $B$ 的哪些映射，以及作用在 $A$ 上的置换群 $G$ 是什么。 首先考虑两张有标号图等价的定义：存在一个置换使得第一张图在置 阅读全文
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题面&题意 Product of Roots 已知 $f(x),g(x),h(x)$ 能表示成： $$ \begin{aligned} f(x)&=\prod_{i=1}^n(a_ix+1)\ g(x)&=\prod_{i=1}^m(b_ix+1)\ h(x)&=\prod_{i=1}^n\prod 阅读全文
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考虑先找到一个原树的根。 对于第一种限制，$b$ 不能作为根。 对于第二种限制，$a$ 不能作为根。 找到可以作为根的一个点 $rt$，显然由于限制互不矛盾肯定能找到。 对于第一种限制先直接连边。 考虑在满足第一种限制的前提下尽量满足第二种限制：让连通的点作为 $rt$ 的一棵子树，不连通的点在 $ 阅读全文
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题目要求我们分解为 $x=\prod_{i=1}^m(c_i!)^{t_i}\cdot p$，那么显然 $c_i$ 不可能大于等于 $10^5+3$（为质数），否则 $c_i!$ 就会包括这个质数，而 $x$ 不可能包含这个质因子。 那么肯定是枚举 $N$ 从 $10^5+2$ 到 $2$，过程中不 阅读全文
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题面 前夕 题解 神仙fl！/se 题意：有一个大小为 $n$ 的集合，易知它有 $2^n$ 个不同的子集，在这些子集中选出一些集合，使得他们的交集大小为 $4$ 的倍数，求选的方案数。 首先我们设 $f(i)$ 表示钦定交集大小至少为 $i$ 时的方案数，易知： $$ f(i)=\binom{n} 阅读全文
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给一个没有特殊性质的矩阵 $A$，求其特征多项式 $|\lambda I-A|$。 定义：若存在一可逆矩阵 $P$，使得 $B=PAP^{-1}$，那么称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A\sim B$。 相似矩阵有很多特殊性质，比如相似矩阵的特征多项式相同。 证明： 首先有 $\lambda 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题意：求 $\left(\sum\limits_{i=1}^n2^{f(i)}\right)\bmod 998244353$，其中 $f(i)$ 表示 $i$ 的不同质因子的个数，$n\leq 10^{12}$。 一开始发现 $g(x)=2^{f(x)}$ 是积性函数以为能直接 min_25 筛（ 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 挑选子序列 题解 非常 NOI 的一道题（给出很多奇奇怪怪的定义）。 先二分答案为 $mid$，那么我们只需判定：是否存在子序列 $seq$ 使得串 $s1,s2$ 与 $t$ 的距离不超过 $mid$，即串 $s1,s2$ 各位置与 $t$ 的距离不超过 $mid$，那么对于串 $s1,s2 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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看到题面，第一眼想到的是用cdq或树状数组维护这东东。 ~~但是强制在线限制了我们的想象~~ 然后想到用树套树，毕竟时间和空间好像是$O(n\log^2n)$的。 ~~但是20M的空间限制了我们的想象~~ 那么我们就会用到$kd-tree$来维护。 1.$kd-tree$是什么 $kd-tree$其 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 Description 火神最爱的就是吃鱼了，所以某一天他来到了一个池塘边捕鱼。池塘可以看成一个二维的平面，而他的渔网可以看成一个与坐标轴平行的矩形。 池塘里的鱼不停地在水中游动，可以看成一些点。有的时候会有鱼游进渔网，有的时候也会有鱼游出渔网。所以火神不知道什么时候收网才可以抓住最多的鱼，现 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 【题目描述】 给定一个长度为$n$的由$[\text{'}0\text{'}...\text{'}9\text{'}]$组成的字符串$s$，$v[i,j]$表示由字符串$s$第$i$到第$j$位组成的十进制数字。 将它的某一个上升序列定义为：将这个字符串切割成$m$段不含前导$\text{'} 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 Description 炮艇大赛是一项危险的比赛。为了赢得这场比赛，参赛者可能会牺牲自己的生命。 参赛者将会在一条长度为 $L$ 的环形轨道上比赛。在比赛开始时（$0$时刻），所有参赛者站在轨道不同的位置上，其中第 $i$ 名参赛者站在位置 $di(0≤di<L)$ 上。然后比赛开始。每位参赛 阅读全文
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题目翻译 Description 给定一个$01$串 $S_{1...n}$ 和 $Q$ 个操作。 操作有两种类型： 1、将 $[l,r]$ 区间的数取反（将其中的$0$变成$1$，$1$变成$0$）。 2、询问字符串 $S$ 的子串 $S_{l...r}$ 有多少个不同的子序列。由于答案可能很大， 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 Description 你在跟朋友玩一个记忆游戏。 朋友首先给你看了$n$个长度相同的串，然后从中等概率随机选择了一个串。 每一轮你可以询问一个位置上的正确字符，如果能够凭借已有的信息确定出朋友所选的串，那么游戏就结束了，你的成绩就是所用的轮数。 由于你实在太笨，不会任何策略，因此你采用一种方 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 Description 给你一个城市下水道网络图，你需要选出一些管道，使得在只使用这些管道的情况下，令整个网络联通，并且花费最小。 网络图可以看做是无向连通图，有$n$个节点和$m$条边，每条边连接$u_i$和$v_i$，选择的花费是$w_i$。 不巧的是，由于某些原因，现在市政局要求选定某条 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 Description 给定$n$个点，$m$条边的无向图（无自环），可以从图中删除一条边，问删除哪些边可以使图变成一个二分图。 Input 第$1$行包含两个整数$n$,$m$，分别表示点数和边数。 第$2\sim m+1$行每行两个数$x$,$y$，表示有一条边连接点$x$,$y$。 Ou 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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感觉非常神奇，但大家都说非常套路/kk 把所有操作离线下来，我们以时间为下标建线段树，对于一条边，我们把它加入到它出现的时间区间内去。 我们在线段树上 dfs，每次到达一个节点的时候加边，到达叶子节点的时候输出，回溯的时候撤销（这就是这样做的好处，我们不需要删除，只需要撤销）。 而只有加边和撤销操作 阅读全文
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先考虑如何确定对于某个 $i$ 的答案。 题目的要求是：对于每一个 $i=1,2,\cdots,n-1$，找一个最小的 $j$ 使得 $j>i$ 且线段 $P_jP_{j+1}$（含端点）与将射线 $P_iP_{i+1}$ 略向上平移后所得的射线相交。 这个要求可以转化为：拟一条射线 $P_iP_{ 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:40
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题面 Description Input Output Sample Input 4 1 4 2 4 3 4 Sample Output 2 2 2 3 HINT 题解 考虑到一个性质：任意两个相邻的节点，它们的$ans$值相差为1。(这是显然的，自己画一下就好了） 所以我们就先任意选出一个点，将它 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:08
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题面 Description UPD:本题字符集为全体小写字母 Input Output Sample Input 5 1 abc 3 abcabc 0 abc 3 aba 1 abababc Sample Output 2 2 HINT 题解 ~~这个“强制在线”好假……~~ 法一： 我们如果用暴 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:08
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题面 Description Input Output Sample Input & Sample Output 【样例输入1】 4 5 ##... ..1#@ 432#. ...#. 【样例输出1】 4 【样例输入2】 4 4 #78# .612 .543 ..@. 【样例输出2】 6 【样例输入 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:08
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题面 Description 给定一个$n$个点$m$条边的连通图，保证没有自环和重边。对于每条边求出,在其他边权值不变的情况下,它能取的最大权值，使得这条边在连通图的所有最小生成树上。假如最大权值为无限大，则输出$-1$。 Input 第一行两个整数$n$,$m$，表示$n$个点$m$条边 接下来 阅读全文
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题面 Description 从前有个A国，它有$n$个城市和$n-1$条道路。每条路连接两个城市。城市之间两两可达。每个城市与不超过10条道路相连。 现在给出$m$条路径，要求从这些路径中选出尽量多的路径，使得它们不两两相交。（这里的相交指经过同一条边，经过同一个点不算相交） Input 输入的第 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:08
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题面 题解 神奇的分类讨论。 首先注意到每次所有跳蚤都只会往右跳，也就是说只要某一只跳蚤跳出了 $\max(r_i)$ 它就不会再有贡献了。（和 火神的鱼 类似） 令 $R=\max(r_i)$。 考虑根号分治，将所有的跳蚤分成两类：将 $t_i> \sqrt{R}$ 的分为第一类，将 $t_i\l 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:08
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首先可以 $O(m\log n)$ 按题意把树建出来，显然这是一棵最短路图的生成树。 那么询问 $u,v$ 相当于在树上 $(u,v)$ 路径上找到深度最深的一点 $w$，满足最短路图中刨掉树上路径 $(u,w)$ 上的边后仍有从根到达 $v$ 的路径。 考虑处理出 $f(u)$ 表示 $u$ 深度 阅读全文
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感觉非常高妙。 考虑暴力做法。 首先对于题目中的第三种限制：若两个环满足，那么这两个环拼起来得到的环肯定也满足。 那么我们可以只考虑那些互相独立的简单环。 随便找到原图的一棵生成树，那么一条非树边可以对应一个简单环，共 $m-(n-1)$ 个，看成 $m-(n-1)$ 条方程。 再配上第二条限制，总 阅读全文
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看到题目中$a<=0$，自然就想到用暴力维护这个东东。 设倍增数组$fa[u][i]$和$minn[u][i]$，其中$minn$存的是一个结构体，结构体中包含两个东东：一个数组和这个数组中的元素个数。 $fa[u][i]$表示啥我就不说了，$minn[u][i]$表示从$u$到$fa[u][i]$ 阅读全文
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题面 Description 从前有 $n$ 块石头排成一排，编号从$1$到$n$。有 $n$ 只青蛙站在这 $n$ 块石头上，其中编号为 $i$ 的青蛙站在编号 $i$ 的石头上。 这 $n$ 只青蛙有一个秘密计划，在某个风和日丽的早上，它们同时起跳，编号为 $i$ 的青蛙跳到编号为 $p_i$ 阅读全文
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这题的dp思想还是比较容易想的，关键是如何保证时间复杂度，这时就用到了虚树的技巧。 1.虚树是什么？（虚树的性质） 不妨设现在询问给出了$k$个点，我们命名这些节点为关键节点。 那么在我的建边方式中，虚树就是： 仅包括这些关键节点、它们两两之间的$lca$以及原树的根的一棵有向树。 但仍然保持原树的 阅读全文
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设两棵树的边集分别为 $E_1,E_2$，那么两棵树不同当且仅当它们对应的边集不同。 转化一下可以发现，染色方案等于 $y^{n-|E_1\cap E_2|}$，即由边集 $E_1\cap E_2$ 构成的图的连通块数量。 $k=1$ $$ ans=\sum_{E_2}y^{n-|E_1\cap E 阅读全文
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长链剖分 因为有很多巨佬只是讲了一下大致的做法，并没有详细地解释如何维护，所以就有了这篇题解。~~巨佬们都不屑于详细写，我太弱了/kk~~ 首先先对原树进行长链剖分。 先讲一些定义： 一条路径的权值和指的是这条路径上的所有边权之和 一条路径的长度指的是这条路径包含多少条边 $dep_i$ 表示 $i 阅读全文
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一种思路奇特的做法。 看到题目容易联想到背包dp，~~因为看上去很像~~。 但是我们并不知道上面有没有大奶酪。 所以我们不妨倒过来看，从上往下加奶酪。 设 $dp(i,1/0)$ 表示当前从上往下的累加高度为 $i$，这之中有/无大奶酪。 显然，当我们考虑新加一个奶酪时，有： $$\begin{ca 阅读全文
posted @ 2022-10-30 10:08
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