[洛谷P4388] 付公主的矩形

18.09.09模拟赛T1。

一道数学题。

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首先把对角线当成是某个点的移动轨迹，从左下到右上。

那么这个点每上升一个单位长度，就穿过一个格子。

每右移一个单位长度，也会穿过一个格子。

例外：穿过格点，会减少穿过的格子数。

初步的结论：R*C的矩形，对角线穿过的格子数N=R+C-gcd(R,C)。

那么我们只需算出这个方程的解的个数。

可以看出，R、C和gcd(R,C)都是gcd(R,C)的倍数。

那么N显然也是。

设N/gcd(R,C)=n，R/gcd(R,C)=r，C/gcd(R,C)=c。

方程两边同除gcd(R,C)：n=r+c-1。

由欧几里得算法可得：gcd(n+1,r)=gcd(n+1-r,r)=gcd( (r+c-1) +1-r,r)=gcd(c,r)。

这时候r和c一定是互质的，假如它们有公因数，在除以gcd(R,C)时就会被除掉。

所以：gcd(r,c)=1。得：gcd(n+1,r)=1。

即：n+1与r互质，n是N得因数。

答案即为：

所以我们线性筛出从2到n+1的欧拉函数phi [ i ]，挑出其中i-1是n的因数的，把它们的phi [ i ]加起来就行了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,cnt,ans;
int pr[100000005];
bool v[100000005];
int phi[100000005];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<=n+1;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            pr[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        if(n%(i-1)==0)ans+=phi[i];
        for(int j=1;(j<=cnt)&&(i*pr[j]<=n+1);j++)
        {
            v[i*pr[j]]=true;
            if(i%pr[j]==0)
            {
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
                break;
            }else
            {
                phi[i*pr[j]]=phi[i]*phi[pr[j]];
            }
        }
    }
    printf("%d",(ans+1)/2);
    return 0;
}