动态规划：数字三角形问题

看完动态规划（DP）的“数字三角形”经典题，感觉终于摸到了DP的门

一、数字三角形问题背景

先说明题目：有一个由数字组成的三角形，从顶部出发，每次只能向下或向右下走，求走到底部时的路径数字和最大值。
举个例子（三角形如下）：
3
7 4
2 4 6
8 5 9 3
最优路径是 3→7→4→9，和为23。

二、动态规划求解数字三角形的步骤

1.1 递归方程式（最优子结构+边界条件）

动态规划的核心是把原问题拆成子问题，用子问题的最优解推原问题的最优解（这就是“最优子结构”）。

定义状态

设 dp[i][j] 表示“从顶部走到第i行、第j列时的最大路径和”（行、列从1开始数，方便对应三角形结构）。

递归方程式

对于第i行第j列的位置，只能从上方（i-1行j列） 或 左上方（i-1行j-1列） 走过来，所以：
dp[i][j] = triangle[i][j] + max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j])

解释：当前位置的最大和 = 自身数字 + 上方/左上方中较大的路径和。

边界条件

• 三角形的第一行只有一个元素：dp[1][1] = triangle[1][1]（顶部起点）

• 三角形的每一行的第一个元素（j=1）：只能从上方（i-1行1列）走过来，所以 dp[i][1] = triangle[i][1] + dp[i-1][1]

• 三角形的每一行的最后一个元素（j=i）：只能从左上方（i-1行i-1列）走过来，所以 dp[i][i] = triangle[i][i] + dp[i-1][i-1]

1.2 填表法的细节（维度、范围、顺序）

动态规划常用“填表”来存子问题的解，避免重复计算。

表的维度

三角形有n行，所以用二维数组dp[n][n]（n是三角形的行数）。

填表范围

• 行范围：从第1行到第n行

• 列范围：第i行的列范围是1到i（因为第i行有i个元素）

填表顺序

必须从第1行开始，逐行向下填（因为计算第i行的dp值，需要先知道第i-1行的结果）。
以开头的例子（n=4）为例，填表过程：

1. 第1行：dp[1][1] = 3

2. 第2行：

◦ dp[2][1] = 7 + dp[1][1] = 10

◦ dp[2][2] = 4 + dp[1][1] = 7

3. 第3行：

◦ dp[3][1] = 2 + dp[2][1] = 12

◦ dp[3][2] = 4 + max(dp[2][1], dp[2][2]) = 4+10=14

◦ dp[3][3] = 6 + dp[2][2] = 13

4. 第4行：

◦ dp[4][1] = 8 + dp[3][1] = 20

◦ dp[4][2] = 5 + max(dp[3][1], dp[3][2]) = 5+14=19

◦ dp[4][3] = 9 + max(dp[3][2], dp[3][3]) = 9+14=23

◦ dp[4][4] = 3 + dp[3][3] = 16

原问题的最优值

填完表后，第n行的所有dp[n][j]（j=1到n）中的最大值，就是整个问题的最优解。
比如例子中第4行的最大值是dp[4][3]=23，对应最优路径和。

1.3 时间和空间复杂度

• 时间复杂度：需要填n行，第i行填i个元素，总操作次数是1+2+...+n = n(n+1)/2，所以是O(n²)。

• 空间复杂度：用了二维数组dp[n][n]，所以是O(n²)（也可以优化成O(n)，用一维数组存当前行的结果，不过新手先记基础版~）

三、我对动态规划的理解和体会

作为算法小白，刚开始学DP的时候总觉得“绕”，但做完数字三角形，突然有了点感觉：

1. DP不是“直接算答案”，是“存子问题的解”：
   以前做题习惯“从起点直接找终点”，但DP是先把“小问题”的答案存起来，比如先算“走到第2行的最大和”，再用它算“走到第3行的最大和”，最后拼出原问题的解——有点像“搭积木”。

2. 状态定义是核心：
   刚开始卡了很久，后来发现“怎么定义dp[i][j]”直接决定了能不能写出递归式。比如这题如果定义成“从第i行j列走到底部的最大和”，递归式会反过来，但核心还是“子问题的最优解”。

3. 避免重复计算是DP的优势：
   比如数字三角形如果用暴力递归，会重复计算很多路径（比如走到第3行第2列，会重复算走到第2行第1/2列的情况），但DP填表只算一次，效率高很多。

DP入门难，但只要从经典题（比如数字三角形、爬楼梯）入手，相信我也可以越做越好！