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[转载]辗转相除法

 来源:Internet

关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载,现摘录如下:

约分术曰:可半者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。

其中所说的等数,就是最大公约数。求等数的办法是更相减损法,实际上就是辗转相除法。

辗转相除法求最大公约数,是一种比较好的方法,比较快。

对于5231775569两个数,你能迅速地求出它们的最大公约数吗?一般来说你会找一找公共的使因子,这题可麻烦了,不好找,质因子大。

现在教你用辗转相除法来求最大公约数。

先用较大的75569除以52317,得商1,余数23252,再以52317除以23252,得商2,余数是5813,再用23252做被除数,5813做除数,正好除尽得商数4。这样5813就是556952317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法,肯定找不到。

那么,这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢?下面我就给大伙谈谈。

比如说有要求ab两个整数的最大公约数,ab,那么我们先用a除以b,得到商 q1,余数r1a÷bq1…r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式:ab * q1r1------l

如果r10,那么b就是ab的最大公约数3。要是r1≠0,就继续除,用b除以r1,我们也可以有和上面一样的式子:

br1q2r2-------2

如果余数r20,那么r1就是所求的最大公约数3。为什么呢?因为如果2)式变成了br1q2,那么b1r1的公约数就一定是a1b的公约数。这是因为一个数能同时除尽br1,那么由l)式,就一定能整除a,从而也是a1b的公约数。

反过来,如果一个数d,能同时整除a1b,那么由1)式,也一定能整除r1,从而也有db1r1的公约数。

这样,ab的公约数与br1的公约数完全一样,那么这两对的最大公约数也一定相同。那b1r1的最大公约数,在r10时,不就是r1吗?所以ab的最大公约数也是r1了。

有人会说,那r2不等于0怎么办?那当然是继续往下做,用r1除以r2……直到余数为零为止。

在这种方法里,先做除数的,后一步就成了被除数,这就是辗转相除法名字的来历吧。

一般用辗转相除法,都列成下面的式子:

              

不过,《九章》中的辗转相除法略有些不同,它叫更相减损,是辗转相减的方法。这也很好理解,除法就是一种连续地减去除数的一种简便运算,一直减到结果比除数小为止。

比如我们用更相减损法来求9149的最大公约数,可以由9149一次,得余42;再由4942一次,余7;更由427,这一回要减五次,余的还是7,再减,就是0了。那么这个7就是9149的最大公约数。这个7就是约分术中所谓的等数,因为减得结果和最后一次的减数相等了,就叫等数。

辗转相除法在小学中学都没教过,恐怕是有点难讲清其中的道理。不过,两千多年前的古人居然有此创造,咱们后人再学不会,可就惭愧了,何况这还是一种很实用的方法。

上面这些讲解均来自网络,由于忘记来源,不能标明出处,还望谅解!


######################################改进########################################

#include <stdio.h>
int main()
{
    int m, n;
    int m_temp, n_temp, res;
    printf("Enter two integer:\n");
    scanf("%d %d", &m, &n);
    m_temp = m;
    n_temp = n;
    if (m > 0 && n >0)
    {
        do
        {
            res = n % m;
            n = m;
            m = res;
        } while (m != 0);

        printf("Greatest common divisor: %d\n", n);
        printf("Lease common multiple  : %d\n", m_temp * n_temp / n);
    }
    else printf("Error!\n");
    return 0;
}


测试结果:
===================================
Enter two integer:
22 33↙
Greatest common divisor: 11
Lease common multiple  : 66
===================================

posted on 2007-04-08 01:14 xerwin 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏