洛谷 P2634 【[国家集训队]聪聪可可】

一篇来自蒟蒻的点分治题解。

先声明一下，作者刚学点分治，有讲的不好的请指出。

点分治 是一类用来处理树上路径的算法。

点分治，也就是将树上的点进行分治。点分治的本质就是将一棵树拆成多棵子树处理，再不断往下拆分的过程。

在进行点分治之前，我们必须先找一个点，我们从这个点进行分治会比较优。那么这个点怎么取呢？肯定是比较平衡的点，平衡就意味着这个点的子树的大小之差尽量小。而这个平衡点就称为树的重心。

树的重心的正式定义：
若存在一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心。（十分显而易见的就是，我们从这个点向下分治，整棵树的深度会比较浅，所以时间效率较高）
求重心的方法很简单，就是一个 \(dfs\)。

void getroot(int x,int father){
	f[x]=0;
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(to==father||vis[to]){
			continue;
		}
		getroot(to,x);
		f[x]=max(f[x],size[to]);//因为我们若以点x为根，则还有一棵子树，就是x和上面深度小于x的所有点
		size[x]+=size[to];
	}
	f[x]=max(f[x],sum-size[x]);
	if(f[x]<f[root]){
		root=x;
	}
}

分治的实现：

实现分治我们要先进行求深度的预处理，就是下面的\(getdep\)函数,\(getdepth\)也就是求以\(x\)为某个点为根，则其下面的点到根的距离。

void getdepth(int x,int father){
	dep[++dep[0]]=d[x];
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(vis[to]||to==father){
			continue;
		}
		d[to]=d[x]+e[i].val;
		getdepth(to,x);
	}
}

然后就是我们的\(solve\)函数，\(solve\)函数也是一步步分治。

下面是solve的通式，其中cal是计算值的函数，\(cal\)的第二个参数表示该点到当前重心的距离，我们刚开始先加上 \(cal\) \((x,0)\)。即为将下面的所有状况都加起来。但有一些状况是不合法的，所以我么要减掉，也就减掉\(cal\)\((son[j],w[j])\)的情况。因为我们想要处理的是经过\(x\)的情况，而有可能在\(x\)子树中的两点满足情况，但它们的\(LCA\)不为\(x\)，也就是不经过\(x\)。那么这种情况在\(x\)时是不合法的，但是我们加进去了，所以我们再减去\(cal\)\((son[j],w[j])\)即可。

void solve(int x){
	vis[x]=1;
	top=0;
	flag[0]=1;
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(vis[to]){
			continue;
		}
		dep[0]=0;
		d[to]=e[i].val;
		getdepth(to,x);
		for(int j=1;j<=dep[0];j++){
			ans+=flag[(3-(dep[j]%3))%3]*2;
		}
		for(int j=1;j<=dep[0];j++){
			flag[que[++top]=dep[j]%3]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=top;i++){
		flag[que[i]]--;
	}
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(vis[to]){
			continue;	
		}
		root=0;
		sum=size[to];
		getroot(to,x);
		solve(root);
	}
}

在时间充裕的时候，我们可以开一个队列，然后将x不同子树里的点进行配对（这样可以避免不合法的情况）。

想知道更多知识点这

这题十分明显是可以点分治的。

我们要求的就是所有树上路径为 \(3\) 的倍数的条数，首先每个点单独成为路径，则长度为\(0\)，肯定满足条件，所以\(ans\)\(=\)\(n\)。然后我们就进行点分治，在点分治的时候我们就可以不用上文的\(solve了\)，因为只有三种情况，\(x≡0(mod 3)\),\(x≡1(mod 3)\),\(x≡2(mod 3)\)，所以我们直接开一个大小为\(3\)的数组，将路径到\(x\)的距离按照被\(3\)模分类，最后累加即可。

可爱的小代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const ll MAX_N=20010;
struct EDGE{
	ll to,nxt,val;
}e[MAX_N<<1];
ll n,head[MAX_N<<1],cnt,f[MAX_N],ans,sum,root,size[MAX_N],vis[MAX_N],flag[4],d[MAX_N],dep[MAX_N],son[MAX_N],que[MAX_N],top;
inline ll read(){
	ll x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-'){
			f=-1;
		}
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
void init(){
	f[0]=2e9;
	ans=n;
	sum=n;
	root=0;
}
void add(int x,int y,int w){
	e[cnt].to=y;
	e[cnt].val=w;
	e[cnt].nxt=head[x];
	head[x]=cnt++;
}
void getroot(int x,int father){
	f[x]=0;
	size[x]=1;
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(to==father||vis[to]){
			continue;
		}
		getroot(to,x);
		f[x]=max(f[x],size[to]);
		size[x]+=size[to];
	}
	f[x]=max(f[x],sum-size[x]);
	if(f[x]<f[root]){
		root=x;
	}
}
void getdepth(int x,int father){
	dep[++dep[0]]=d[x];
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(vis[to]||to==father){
			continue;
		}
		d[to]=d[x]+e[i].val;
		getdepth(to,x);
	}
}
void solve(int x){
	vis[x]=1;
	top=0;
	flag[0]=1;
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(vis[to]){
			continue;
		}
		dep[0]=0;
		d[to]=e[i].val;
		getdepth(to,x);
		for(int j=1;j<=dep[0];j++){
			ans+=flag[(3-(dep[j]%3))%3]*2;
		}
		for(int j=1;j<=dep[0];j++){
			flag[que[++top]=dep[j]%3]++;
		}
	}
	for(int i=1;i<=top;i++){
		flag[que[i]]--;
	}
	for(int i=head[x];~i;i=e[i].nxt){
		int to=e[i].to;
		if(vis[to]){
			continue;	
		}
		root=0;
		sum=size[to];
		getroot(to,x);
		solve(root);
	}
}
int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	n=read();
	init();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y,w;
		x=read(),y=read(),w=read();
		add(x,y,w);
		add(y,x,w);
	}
	getroot(1,0);
	solve(root);
	printf("%d/%d",ans/gcd(ans,n*n),(n*n)/gcd(ans,n*n));
	return 0;
}
/*
5
1 2 1
1 3 2
1 4 1
2 5 3

13/25
*/

希望luogu能通过我的题解QAQ