CF1761F1 Anti-median (Easy Version)

遇到这种题，我们一般会去发掘题目条件的性质。很容易猜到，如果 \(m\) 很大，其实会被 \(m\) 小的情况覆盖。

我们先猜，只用关心长度为 3 的连续段，如果这个结论是对的，会很容易的导向“连续段 dp”这个解法。

但我们发现，4 1 3 2 5 的时候，长为 3 的连续段全部满足，但是整体不满足。遇到结论被推翻的时候，不要着急打退堂鼓，而试图去修复这个结论。我们来研究长度为 5 的情况。

在长度为 3 的情况中，每 3 个数中间那个数一定是这三个数的最大值或者最小值。我们不妨钦定位置 2 是极大值，则很容易导向一个结论：偶数位置都是极大值，奇数位置都是极小值。并且这个结论可以对称到偶数为极小值，只需要把数取反做一次即可，因此我们以下以偶数位置为最大值来展开讨论。

现在我们可以研究长度为 5 的连续段了。我们以偶数位（即最大值）为中心那个位置来讨论，不妨把这个位置叫做 \(c_4\)，其余四个位置分别是 \(c_2,c_3,c_5,c_6\)，那么由于 \(c_4>c_3,c_4>c_5\)，则 \(c_4\) 至少要大于 \(c_2,c_6\) 中一个（否则就成为中位数）。

我们可以先假设 \(c_4 > c_2\)，看看会发生什么，可以分两类情况讨论：

1. \(c_4 < c_6\)。此时对于 \(c_{4,5,6,7,8}\)，\(c_6\) 已经满足条件了，所以和现在的情况是一样的，可以递归讨论。

2. \(c_4 > c_6\)，于是必须有 \(c_6 > c_8\)，往下继续有 \(c_8 > c_{10}\) ，以此类推。于是发现，偶数位置的数会在一次递减后一直递减下去，因此偶数位置的数组成了一个单峰序列！ 类似的，可以发现，奇数位置的数组成了一个单谷序列。

仔细观察，这个条件，和原条件是充要的。因为由于单谷单峰，至少可以取到一边有一半数比你大/比你小。到此为止，原条件便被转化完了，成为一个很有前途的形态。

但是还是不能 dp 啊？对于排列问题的 dp 处理，我们必须要有一定的顺序（例如只需要关心最大值，因此从小到大 dp，此时加入的新数无论如何都是最大值），或者考虑连续段 dp。但这里显然都不行，尽管单谷单峰是很好的性质，但最关键的一点是：我们无法有效的把两条序列结合在一起。而偏偏两条序列需要在一起来判断是否合法，这一点非常困扰我们。

因此，我们现在要做的事情是找到一个合适的 dp 顺序。我们继续观察一些被我们遗漏的性质，挖掘两条序列的关系。

假设 \(n\) 为偶数，我们在最极端的位置可以观察到：\(p_n > p_{n-1},p_2 > p_1\)。再由于奇数序列单谷，偶数序列单峰，可以发现，偶数序列两个最小值都比奇数序列对应两个最大值要大。这是否是一个合理的顺序呢？

显然，1 所在一定是奇数序列，我们可以从此往外走，寻找 2 的位置。以此类推，我们想做的事情是从 \(p\) 推到 \(p+1\)。于是需要分类讨论：

1. 如果 \(p+1\) 在奇数序列。那么，由于 \(p\) 一定是谷底，\(p+1\) 必须在 \(p\) 旁边。

2. 如果 \(p+1\) 在偶数序列。此时由于偶数序列单峰，\(p+1\) 只能在偶数序列两个端点，或者已经填过数的旁边，才可能合法。更进一步的，这个位置旁边两个奇数位需要已经填入数。

因此！如果我们把两个序列连成一个 \(p_{2k},p_{2k-2},\cdots,p_2,p_1,p_3,\cdots,p_{2k-1}\) 状的序列，再头尾相接，形成一个环。此时，对于最小的任意 \(s\) 个数，他们一定在这个环上连续。到此为止，可以 dp 了。

设 \(f_{l,r}\) 表示目前覆盖了环上 \([l,r]\) 区间的点（可以 \(l > r\)，此时代表穿越了右端点）。

\(f_{l,r}\) 可以转移到 \(f_{l-1,r},f_{l,r+1}\)，转移过程中，容易 \(O(1)\) 判断是否合法。

代码