矩阵运算在信奥中的应用

 

在信息学奥赛（尤其是NOI系列比赛）中，矩阵乘法并不是简单地“算两个矩阵相乘”，而是作为一种高效工具来解决以下几类经典问题：

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✅ 1. 线性递推加速（矩阵快速幂）

典型题目：斐波那契数列第n项（n ≤ 10^18）

核心思想：

将递推式 转化为矩阵形式：

用矩阵快速幂在 时间内求出第n项，避免 递推。

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✅ 2. 图上路径计数（邻接矩阵幂）

典型题目：给定一张图，求从点u到点v恰好走k步的路径数

核心思想：

•        用邻接矩阵 表示图（ 表示i→j有边）。

•          则 的 项即为从i到j走k步的路径数。

•          用矩阵快速幂计算，复杂度。

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✅ 3. 动态规划状态转移优化

典型题目：

•          GT考试：给定一个字符串模板，求长度为n且不包含该模板的字符串个数。

•          牡牛与牝牛：公牛和母牛排列问题，限制连续公牛数量。

核心思想：

•          将DP状态表示为向量，转移方程写成矩阵乘法形式。

•        用矩阵快速幂将 的DP优化为。

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✅ 4. 基础矩阵乘法模板题

典型题目：《信息学奥赛一本通》T1125：给定两个矩阵A和B，求乘积C。

作用：熟悉矩阵乘法的三重循环实现和边界处理。

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✅ 5. 几何变换（旋转/缩放）

典型应用：在图形学或计算几何中，用矩阵乘法表示旋转、平移、缩放等变换（如图像旋转题）。

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📌 总结：矩阵乘法在信息学奥赛中的三大核心价值

场景类型	核心技巧	复杂度优化
线性递推	构造转移矩阵 + 快速幂
图上路径	邻接矩阵幂次
DP优化	状态转矩阵

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📚 推荐练习：

•          信息学奥赛一本通：T1641（矩阵乘法模板）、T1642（斐波那契矩阵快速幂）

•          NOI Online：矩阵加速递推类题目

•          Luogu：P1962（斐波那契）、P2151（GT考试）、P2886（牡牛与牝牛）

一句话总结：

矩阵乘法 = 把递推/DP/图论问题“数学化”，然后用“快速幂”把时间复杂度压到对数级。