集合论与图论 抄书内容

虽然期末小题极度崩盘但是还是发一下吧

基本上就是课件内容抄了一遍

二元关系

有序对与卡氏积

• 有序对\(\langle a,b\rangle\), 也记作\((a,b)\)
  • 有序\(n\)元组:\(\langle a_1,\dots,a_n\rangle=\langle \langle a_1,\dots,a_{n-1}\rangle,a_n\rangle\)
• \(\langle a,b\rangle =\langle c,d\rangle \Leftrightarrow a=c\wedge b=d\)
  • 推论: \(\langle a,b\rangle \neq \langle b,a\rangle \Leftrightarrow a\neq b\)
  • 对\(n\)元组有\(\langle a_1,\dots,a_n\rangle=\langle b_1,\dots,b_n\rangle\Leftrightarrow a_i=b_i,\forall i=1,\dots, n\).
• 卡氏积: \(A\times B = \{\langle a,b\rangle\mid x\in A\wedge y\in B\}\)
  • 不满足交换律和结合律
  • 满足对\(\cap\)与\(\cup\)的左右结合律, 如\(A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)\).
  • \(A\times B=\empty \Leftrightarrow A=\empty \vee B=\empty\).

二元关系

• \(n\)元关系: 元素均为有序\(n\)元组的集合.
  • \(n=2\)时元素均为有序对, 称为二元关系.
• 若\(F\)是二元关系, 则\(\langle x,y\rangle\in F \Leftrightarrow x\)与\(y\)具有\(F\)关系\(\Leftrightarrow xFy\)
  • 中缀\(xFy\). 前缀\(F(x,y), Fxy\). 后缀\(\langle x,y\rangle \in F,xyF\).
• \(P\)是\(A\)到\(B\)的二元关系\(\Leftrightarrow R\subseteq A\times B\Leftrightarrow R\in P(A\times B)\)
  • 若\(|A|=m,|B|=m\), 则\(|P(A\times B)|=2^{mn}\), 即\(A\)到\(B\)的不同的二元关系有\(2^{mn}\)个.
• \(A\)上的特殊关系:
  • 空关系\(\empty\).
  • 恒等关系$I_A={\langle x,x\rangle\mid x\in A } $.
  • 全域关系\(E_A=A\times A=\{\langle x,y\rangle\mid x\in A,y\in A\}\).
  • 若\(A\subseteq \mathbb{Z}\), 则可定义整除关系\(D_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A\wedge y\in A\wedge x|y\}\)
  • 若\(A\subseteq \mathbb{R}\), 则可定义
    • 小于等于关系\(LE_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A\wedge y\in A\wedge x\leq y\}\)
    • 小于关系\(L_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\in A\wedge y\in A\wedge x<y\}\)
    • 大于等于关系, 大于关系.
  • 包含关系\(\subseteq_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\subseteq A\wedge y\subseteq A\wedge x\subseteq y\}\)
  • 真包含关系\(\subset_A=\{\langle x,y\rangle \mid x\subseteq A\wedge y\subseteq A\wedge x\subset y\}\)
• 定义域,值域,域: 对任意集合\(R\)有
  • 定义域\(\mathrm{dom} R = \{x\mid \exist y(xRy)\}\).
  • 值域\(\mathrm{ran} R=\{y\mid \exist x(xRy)\}\).
  • 域\(\mathrm{fld} R= \mathrm{dom}\cup \mathrm{ran}R\).
• 对任意集合\(F,G\)有
  • 逆\(F^{-1}=\{\langle x,y\rangle \mid yFx\}\).
  • 合成:
    • 顺序合成\(F\circ G=\{\langle x,y\rangle \mid \exist z(xFz\wedge zGy)\}\).
    • 逆序合成\(F\circ G=\{\langle x,y\rangle \mid \exist z(xGz\wedge zFy)\}\)(默认)
    • 合成满足结合律: \((R_1\circ R_2)\circ R_3 = R_1 \circ (R_2\circ R_3)\).
  • \((F\circ G)^{-1}=G^{-1}\circ F^{-1}\).
• 对任意集合\(F,A\)可以定义:
  • 限制\(F\uparrow A=\{\langle x,y\rangle \mid xFy\wedge x\in A\}\).
  • 象\(F[A]=\mathrm{ran}(F\uparrow A)=\{y\mid \exist x(x\in A\wedge xFy)\}\).
• 对任意集合\(F\)可以定义
  • \(F\)是单根的\(\Leftrightarrow\forall y(y\in F\to \exist ! x (x\in \mathrm{dom} F\wedge xFy))\Leftrightarrow (\forall y\in F)(\exist ! x\in \mathrm{dom} F)(xFy)\).
  • \(F\)是单值的\(\Leftrightarrow\forall x(x\in \mathrm{dom}F\to \exist ! y (y\in \mathrm{ran} F\wedge xFy))\Leftrightarrow (\forall x\in \mathrm{dom} F)(\exist ! y\in \mathrm{ran} F)(xFy)\).

关系的表示和性质

• 关系矩阵: \(A=\{a_1,\cdots,a_n\}, R\subseteq A\times A\), 则\(R\)的关系矩阵\(M(R)=(r_{ij})_{n\times n}\), 其中\(r_{ij}=[a_iRa_j]\).
  • \(M(R^{-1})=(M(R))^T\).
  • \(M(R_1\circ R_2)=M(R_2) \cdot M(R_1)\).
    • \(\cdot\)表示矩阵的逻辑乘, 加法为\(\vee\), 乘法为\(\wedge\).
• 关系图
  • 用\(\circ\)表示\(A\)中元素(顶点), 用\(\to\)表示\(R\)中元素(有向边)
  • 若\(a_iRa_j\), 则从顶点\(a_i\)到\(a_j\)有边\(\langle a_i,a_j\rangle\).
• 关系性质
  • 自反性: \(\forall x(x\in A\to xRx)\Leftrightarrow (\forall x\in A)xRx\) .
    • \(R\)是自反的\(\Leftrightarrow I_A\subseteq R \Leftrightarrow R^{-1}\)是自反的\(\Leftrightarrow M(R)\)主对角线上的元素均为\(1\Leftrightarrow G(R)\)的每个顶点处均有环.
  • 反自反性: \(\forall x(x\in A\to \neg xRx)\Leftrightarrow (\forall x\in A)\neg xRx\).
    • \(R\)是反自反的\(\Leftrightarrow I_A\cap R = \empty \Leftrightarrow R^{-1}\)是反自反的\(\Leftrightarrow M(R)\)主对角线上的元素均为\(0\Leftrightarrow G(R)\)的每个顶点处均无环.
    • 自反且反自反: \(\empty\)上的空关系.
  • 对称性: \(\forall x\forall y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\to yRx)\Leftrightarrow (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\to yRx]\).
    • \(R\)是对称的\(\Leftrightarrow R^{-1}=R \Leftrightarrow R^{-1}\)是对称的\(\Leftrightarrow M(R)\)对称\(\Leftrightarrow G(R)\)任何两个顶之间若有边, 则必有两条方向相反的有向边.
  • 反对称性: \(\forall x\forall y(x\in A\wedge y\in A\wedge xRy\wedge yRx\to x = y)\Leftrightarrow (\forall x\in A)(\forall y\in A)[xRy\wedge yRx\to x=y]\).
    • \(R\)是反对称的\(\Leftrightarrow R^{-1}\cap R\subseteq I_A \Leftrightarrow R^{-1}\)是反对称的\(\Leftrightarrow M(R)\)中\(\forall i\forall j(i\neq j\wedge r_{ij}=1\to r_{ji}=0)\Leftrightarrow G(R)\)中\(\forall a_i\forall a_j(i\neq j)\),若有有向边\(\langle a_i,a_j\rangle\), 则必没有\(\langle a_j,a_i\rangle\).
  • 传递性: \(\forall x\forall y\forall z(x\in A\wedge y\in A\wedge z\in A\wedge xRy\wedge yRz\to xRz)\Leftrightarrow(\forall x\in A)(\forall y\in A)(\forall z\in A)[xRy\wedge yRz\to xRz]\).
    • \(R\)是传递的\(\Leftrightarrow R\circ R\subseteq R \Leftrightarrow R^{-1}\)是传递的\(\Leftrightarrow \forall i\forall j, M(R\circ R)(i,j)\leq M(R)(i,j)\Leftrightarrow G(R)\)中\(\forall a_i\forall a_j\forall a_k\), 若有有向边\(\langle a_i,a_j\rangle\)和\(\langle a_j,a_k\rangle\), 则必有有向边\(\langle a_i,a_k\rangle\).
  • 对\(R_1,R_2\subseteq A\times A\)

	自反	反自反	对称	反对称	传递
\(R_1^{-1}, R_2^{-1}\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)
\(R_1\cup R_2\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)
\(R_1\cap R_2\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)
\(R_1\circ R_2,R_2\circ R_1\)	\(\checkmark\)
\(R_1-R_2,R_2-R_1\)		\(\checkmark\)	\(\checkmark\)	\(\checkmark\)
\(\sim R_1,\sim R_2\)			\(\checkmark\)

关系的幂运算和闭包

• 关系的\(n\)次幂 $$R^n=\begin{cases}I_A & n = 0\ R^{n-1}\circ R & n > 0\end{cases}$$
  • \(R^{m+n}=R^m\circ R^n, (R^m)^n=R^{mn}\)
• 关系的闭包
  • 自反闭包\(r(R)\)
    • \(R\subseteq r(R)\)
    • \(r(R)\)自反
    • \(\forall S((R\subseteq S\wedge S{\text{自反}}\to r(R)\subseteq S)\)
  • 对称闭包\(s(R)\)
  • 传递闭包\(t(R)\).
  • 闭包运算保持\(\subseteq\), 例\(R_1\subseteq R_2\Rightarrow r(R_1)\subseteq r(R_2)\).
  • \(r(R_1\cup R_2)=r(R_1)\cup r(R_2), s(R_1\cup R_2)=s(R_1)\cup s(R_2), t(R_1\cup R_2)\supseteq t(R_1)\cup t(R_2)\).
  • \(r(R)=R\cup I_A, s(R)=R\cup R^{-1},t(R)=R\cup R^2\cup R^3\cup \cdots\)
  • \(R\)自反,则\(r(R),s(R),t(R)\)自反. \(R\)对称, 则\(r(R),s(R),t(R)\)对称. \(R\)传递, 则\(r(R), t(R)\)传递.
    • 取\(R=\{\langle a,b\rangle\},s(R)=\{\langle a,b\rangle, \langle b,a\rangle\}\).则有\(R\)传递但\(s(R)\)非传递.
  • \(rs(R)=sr(R),rt(R)=tr(R),st(R)\subseteq st(s(R))=sts(R)=s(ts(R)=ts(R)\).

等价关系与划分

• 等价关系
  • \(R\)自反,对称且传递
  • e.g. 对\(R\)依次求三种闭包共有6种不同的顺序. 其中有多少个等价关系?
    • 由于只有\(st(R)\subseteq ts(R)\). 故只有\(tsr(R)\)与\(str(R)\)这两种. 它们都满足自反性与对称性, 但是只有\(tsr(R)\)满足传递性, 故只有\(tsr(R)\)是等价关系.
• 等价类
  • \(R\)是等价关系, 对\(x\in A\), 有\(x\)关于\(R\)的等价类为\([x]_R=\{y\mid y\in A\wedge xRy\}\), 简称为\(x\)的等价类, 简记为\([x]\).
  • 性质
    • \([x]_R\neq \emptyset\).
    • \(xRy\Rightarrow[x]_R=[y]_R\).
    • \(\neg xRy\Rightarrow [x]_R\cap[y]_R=\emptyset\).
    • \(\cup \{[x]_R\mid x\in A\}=A\).
• 商集
  • \(R\)是\(A\)上的等价关系, \(A\)关于\(R\)的商集为\(A/R=\{[x]_R\mid x\in A\}\).
• 划分
  • \(\cal{A}\subseteq P(A)\)是\(A\)的划分当且仅当
    • \(\emptyset\notin \cal{A}\).
    • \(\forall x,y(x,y\in\cal{A}\wedge x\neq y\Rightarrow x\cap y=\emptyset)\).
    • \(\cup\cal{A}=A\).
  • \(\cal{A}\)中元素被称为划分块.
  • \(R\)是\(A\)的等价关系\(\Rightarrow A/R\)是\(A\)的划分.
  • \(\cal{A}\)是\(A\)的划分\(\Rightarrow\)同块关系\(R_{\cal{A}}(xR_{\cal{A}}y)\Rightarrow \exists z(z\in\cal{A}\wedge x\in z\wedge y\in z)\).是\(A\)上的等价关系.
  • 计数: 第二类Stirling数.
  • 划分加细: \(\cal{A},\cal{B}\)都是\(A\)的划分,若\(A\)的每个划分块都含于\(\cal{B}\)的某个划分块中, 则称\(\cal{A}\)为\(\cal{B}\)的加细.

序关系

• 若\(R\)自反,反对称,传递,则称\(R\)为\(A\)上的偏序关系,用\(\preccurlyeq\)表示.称\(\langle A,\preccurlyeq\rangle\)为偏序集.
• 设\(\langle A,\preccurlyeq\rangle\)为偏序集,\(x,y\in A\).
  • 若\(x\preccurlyeq y\vee y\preccurlyeq x\), 则称\(x\)与\(y\)可比.
  • 若\(x\)与\(y\)可比且不相等,则称\(x\)严格小于\(y\).即\(x\preccurlyeq y\wedge w\neq y\Leftrightarrow x\prec y\)
  • 若\(x\prec y\),且不存在\(z\)使得\(x\prec z,z\prec y\), 则称\(y\)覆盖\(x\).
  • 哈斯图:
    • 用顶点表示\(A\)中元素.
    • \(x\)与\(y\)之间有无向边当且仅当\(y\)覆盖\(x\), 此时\(y\)在\(x\)上方.
• 全序关系: \(\langle A,\preccurlyeq\rangle\)中任意\(x,y\)都可比, 则\(\preccurlyeq\)为\(A\)上的全序关系, \(\langle A,\preccurlyeq\rangle\)为全序集.
  • 充要条件: 哈斯图为一条直线.
• 拟序关系: 若\(R\)是反自反,传递(反对称), 则称\(R\)是\(A\)上的拟序关系, 用\(\prec\)表示.
  • 反自反和传递可以推出反对称.
  • \(x\prec y,x=y,y\prec x\)至多有一个成立.
  • \((x\prec y\vee x=y)\wedge (y\prec x\vee x=y)\Rightarrow x=y\)
• 若\(\preccurlyeq\)是偏序关系, \(\prec\)是拟序关系,则
  • \(\prec\)反对称
  • \(\preccurlyeq-I_A\)是拟序关系
  • \(\prec \cup I_A\)是偏序关系
• 三歧性与拟线序:\(\prec\)是拟序关系,若\(x\prec y,x=y,y\prec x\)中有且仅有一式成立,则称\(\prec\)具有三歧性,\(\prec\)为\(A\)上的拟线序关系, \(\langle A,\prec\rangle\)为拟线序集.
• 最大元与最小元: \(y\in B\)为\(B\subseteq A\)的最大元等价于\(\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)\), 最小元定义类似.
• 极大元与极小元: \(y\in B\)是\(B\subseteq A\)的极大元等价于\(\forall x(x\in B\wedge y\preccurlyeq x\to x=y)\)
• 上界与下界: \(y\in A\)为\(B\subseteq A\)的最大元等价于\(\forall x(x\in B\to x\preccurlyeq y)\)
  • \(C\)为\(B\)的所有上界构成的集合, 则\(C\)的最小元被称为\(B\)的最小上界, 或上确界. 同样可以定义下确界为最大下界.
• 偏序集的链与反链
  • \(B\)是\(A\)中的的链当且仅当\(\forall x\forall y(x\in B\wedge y\in B\to x\)与\(y\)可比\()\).
  • \(B\)是\(A\)中的反链当且仅当\(\forall x\forall y(x\in B\wedge y\in B\wedge x\neq y\to\)x与y不可比).
  • 用\(|B|\)表示(反)链的长度.
  • 若最长链的长度为\(n\)则
    • \(A\)中存在极大元
    • \(A\)中存在\(n\)个划分块的划分使得每个划分块都是反链.
  • 推论: 若对偏序集\(A\)有\(|A|=mn+1\), 则\(A\)中要么存在长为\(m+1\)的反链,要么存在长度为\(n+1\)的链.
• 良序关系: 对(拟)全序集\(A\), 若\(A\)的任何非空子集\(B\)均有最小元,则\(\prec\)为\(A\)上的良序关系, \(\langle A,\prec\rangle\)为良序集.

函数

• 函数与映射: 单值的二元关系
  • \(\forall x\in \mathrm{dom}F, \forall y,z\in \mathrm{ran}F, xFy\wedge yFz\to y=z\)
• 偏函数: \(F\)是\(A\)到\(B\)的偏函数当且仅当\(\mathrm{dom}F\subseteq A\wedge\mathrm{ran}F\subseteq B\). 其中\(A\)称为\(F\)的前域.
  • 偏函数记作\(F:A \mapsto B\), \(A\)到\(B\)的全体偏函数记为\(A\mapsto B=\{F\mid F:A\mapsto B\}\subseteq P(A\times B)\).
• 全函数\(\mathrm{dom}F=A\), 记作\(F:A\to B\), \(A\)到\(B\)的全体全函数记为\(B^A\).
  • \(|B^A|=|B|^{|A|}\)
  • \(|A|=\emptyset\)时\(B^A=\{\emptyset\}\).
  • \(A\neq\emptyset\wedge B=\emptyset\)时,\(B^A=\emptyset\).
• 真偏函数: 不是全函数的偏函数
• 全函数性质:
  • 单射: \(F\)是单根的.
  • 满射: \(\mathrm{F}=B\).
  • 双射, 一一对应: \(F\)既是单射又是满射.
  • 设\(|A|=n,|B|=m\).
    • \(n<m\)时, 无满射和双射, 单射个数为\(\frac{m!}{(m-n)!}\).
    • \(n>m\)时, 无单射和双射, 满射个数为\(m!{n\brace m}\)
• \(f:A\to B,A'\subseteq A, B'\subseteq B\).
  • \(A'\)的象是\(f(A')=\{y\mid \exists x(x\in A'\wedge f(x)=y)\}\subseteq B\).
  • \(B'\)的原象是\(f^{-1}(B')=\{x\mid \exist y (y\in B'\wedge f(x)=y)\}\subseteq A\)
• 特殊函数
  • 常数函数: \(f:A\to B, \exist b\in B, \forall x\in A,f(x)=b\).
  • 恒等函数:\(I_A: A\to A,I_A(x)=x\).
  • 特征函数\(\chi_A:E\to\{0,1\},\chi_A(x)=1\Leftrightarrow x\in A\).
• 单调函数: \(\langle A,\leq_A\rangle, \langle B,\leq_B\rangle\)是偏序集.
  • 单调增: \(\forall x,y\in A, x\leq_A y\Rightarrow f(x)\leq_B f(y)\).
  • 单调减
  • 严格单调: \(\leq\to <\).
• 自然映射: \(R\)为\(A\)上的等价关系, 自然映射\(f: A\to A/R, f(x)=[x]_R\).
  • 当\(R=I_A\)时, \(f\)是单射.
• 设\(g:A\to B, f:B\to C\), 则\(f\circ g:A\to C, f\circ g(x)=f(g(x))\).
  • 若\(f,g\)为满/单/双射, 则\(f\circ g\)也是满/单/双射.
  • 若\(f\circ g\)为满射, 则\(f\)是满射.若\(f\circ g\)为单射, 则\(g\)是单射.若\(f\circ g\)为双射,则以上两点均满足.
• \(f=f\circ I_A=I_B\circ f\).
• \(f,g\)单调增(减), 则\(f\circ g\)单调增.
• \(A\)为集合, \(A^{-1}\)为函数\(\Leftrightarrow A\)为单根的.
• 反函数: \(f:A\to B\)且\(f\)为双射, 则\(f^{-1}:B\to A\)也为双射, 称为\(f\)的反函数.
• 单边逆: \(f:A\to B,g:B\to A\)
  • \(g\)是\(f\)的左逆\(\Leftrightarrow g\circ f = I_A\).
  • \(g\)是\(f\)的右逆\(\Leftrightarrow f\circ g=I_B\)
  • \(f\)存在左逆\(\Leftrightarrow f\)是单射.
  • \(f\)存在右逆\(\Leftrightarrow f\)是满射.
  • \(f\)存在左逆,右逆\(\Leftrightarrow f\)是双射\(\Leftrightarrow f\)的左逆与右逆相等.

自然数的定义

• Peano系统: \(\langle M,F,e\rangle, F:M\to M\)
  • \(e\in M\)
  • \(M\)在\(F\)下封闭
  • \(e\notin\mathrm{ran}F\)
  • \(F\)是单射
  • \(A\subseteq M\wedge e\in a\wedge A\)在\(F\)下封闭\(\Rightarrow A=M\)(极小性公理)
• 后继: \(A^+=A\cup\{A\}\)
  • \(A\subseteq A^+\wedge A\in A^+\)
• 归纳集
  • \(\emptyset\in A\)
  • \(\forall x(x\in A\to x^+\in A)\)
• 自然数: 属于每个归纳集的集合
  • 记号: \(0=\emptyset, n=\{0,1,\dots, n-1\}\)
• 自然数集\(N\): 包含于每个归纳集的集合
  • \(N\)是归纳集
  • 定义后继函数\(\sigma(n)=n^+\),则\(\langle N,\sigma,0\rangle\)是Peano系统
• 数学归纳法
  • 目标: 证明\(\forall n, P(n)\)为真
  • 步骤
    • 构造\(S=\{n\mid n\in N\wedge P(n)\}\)
    • 证明\(S\)是归纳集
• 任何自然数的元素均为它的子集
• \(\forall n,m\in N, m^+\in n^+\Leftrightarrow m\in n\)
• 任何自然数都不是自己的元素
• \(\emptyset\)属于除0以外的任何自然数
• 三歧性: \(\forall n,m\in N, m\in n,m=n,n\in m\)中恰有一式成立.

自然数的性质

• 传递集: \(A\)为传递集\(\Leftrightarrow A\)的元素的元素还是\(A\)的元素\(\Leftrightarrow \forall x\forall y(x\in y\wedge y\in A\to x\in A)\)
  • 等价条件
    • \(\cup A\subseteq A\)
    • \(\forall x(x\in A\to x\subseteq A)\)
    • \(A\subseteq P(A)\)
  • \(A\)为传递集\(\Leftrightarrow P(A)\)为传递集
  • \(A\)为传递集\(\Rightarrow \cup(A^+)=A\)
  • 每个自然数都是传递集, 自然数集\(N\)是传递集
• 递归定理: \(A\)为集合, \(a\in A, F:A\to A\), 则存在唯一函数\(h:N\to A\)使得\(h(0)=a\)且\(\forall n\in N, h(n^+)=F(h(n))\)
• 加法
  • 一元函数"加m": \(m\)固定, \(A_m:N\to N, A_m(0)=m,A_m(n^+)=(A_m(n))^+\).
  • 二元函数加法: \(+:N\times N\to N, m+n=A_m(n)\)
  • 性质: 单位元, 交换律, 结合律, 单位元
• 乘法
  • 乘m: \(m\)固定, \(M_m: N\to N, M_m(0)=0, M_m(n^+)=M_m(n)+m\).
  • 乘法\(\cdot:N\times N\to N, m\cdot n=M_m(n)\)
  • 性质: 单位元, 交换律, 结合律, 消去律, 分配律
• 序
  • 属于等于(线序, 良序)

集合的等势, 有穷集与无穷集

• 集合\(A\)与集合\(B\)等势: \(\exist\)双射\(f:A\to B\), 记作\(A\approx B\)
• 例子
  • \(Z\approx N\)
  • \(N\times N\approx N\)
  • \(Q\approx N\)
  • \((0,1)\approx R\)
  • \([0,1]\approx (0,1)\)
  • \(P(A)\approx 2^A = A\to 2\)
    • \(2^A=\{0,1\}^A=A\to\{0,1\}=\{f:f\to 2\}\)
• 等势关系是等价关系
• Cantor定理
  • \(N\not\approx R\)
  • \(\forall A, A\not\approx P(A)\)
• 有穷集与无穷集
  • 有穷集: 与某个自然数等势的集合
    • 不存在与某个自己的真子集等势的自然数
    • 推论: 有穷集不能与自身真子集建立双射, 且任何有穷集均与唯一自然数等势
    • 有穷集的子集任为有穷集
  • 无穷集: 不与某个自然数等势的集合, 可以与自身真子集建立双射

基数与基数的比较和运算

• 基数的定义:
  • \(\mathrm{card} A=\mathrm{card} B\Leftrightarrow A\approx B\)
  • 对有穷集\(A\),\(\mathrm{card} A=n\Leftrightarrow A\approx n\)
  • 对自然数集\(N\), \(\mathrm{card} N=\aleph_0\)
  • 对实数集\(R\), \(\mathrm{card} R=\aleph_1=\aleph\)
  • \(0,1,\dots,\aleph_0,\aleph\)均为基数
    • \(0,1,\dots\)为有穷基数, \(\aleph_i\)为无穷基数
    • 若\(\mathrm{card}A=\aleph_i\), 则\(\mathrm{card} P(A)=\aleph_{i+1}\)
  • 若\(\kappa\)为基数, 则\(K_\kappa=\{x\mid \mathrm{card}x=\kappa\}\)
    • \(\kappa\neq 0\)时, \(K_\kappa\)不是集合, 是类
• 优势\(\succcurlyeq\cdot\), 劣势, 绝对优势, 绝对劣势
  • \(A\preccurlyeq\cdot B\Leftrightarrow\exist C\subseteq B,A\approx C\)
  • \(A\preccurlyeq\cdot A\)
  • \(A\preccurlyeq\cdot B\wedge B\preccurlyeq\cdot C\Rightarrow A\preccurlyeq\cdot C\)
  • 若\(A\preccurlyeq\cdot B\wedge C\preccurlyeq\cdot D\Rightarrow\)
    • 当\(B\cap D=\emptyset\)时, \(A\cup C\preccurlyeq\cdot B\cup D\)
    • \(A\times C\preccurlyeq\cdot B\times D\)
• 基数的比较
  • 若\(\mathrm{card}A=\kappa, \mathrm{card}B=\lambda\)
    • \(\kappa\leq\lambda\Leftrightarrow A\preccurlyeq\cdot B\)
    • \(\kappa<\lambda\Leftrightarrow A\prec\cdot B\)
  • \(0<\kappa, n\leq\aleph_0\)
  • \(\mathrm{card}A<\mathrm{card}P(A)\)
  • Schröder-Bernstein定理
    • \(A\preccurlyeq\cdot B\wedge B\preccurlyeq\cdot A\Rightarrow A\approx B\)
    • \(\kappa\leq\lambda\wedge\lambda\leq\kappa\Rightarrow \kappa=\lambda\)
  • \(R\approx (N\to 2)=2^N\)
  • 可数集: \(\mathrm{card}A\leq\aleph_0\)
• 基数运算
  • 定义: \(\mathrm{card}K=\kappa,\mathrm{card}L=\lambda\)
    • \(\kappa+\lambda=\mathrm{card}(K\cup L)(K\cap L=\emptyset)\)
    • \(\kappa\times\lambda=\mathrm{card}(K\times L)\)
    • \(\kappa^\lambda=\mathrm{card}(L\to K)\)
  • \(2^{\mathrm{card}A}=\mathrm{card}P(A)\)
    • \(\kappa<2^\kappa\)
  • \(\kappa,\lambda,\mu\)为基数
    • \(\kappa+\lambda=\lambda+\kappa\)
    • \((\kappa+\lambda)+\mu=\kappa+(\lambda+\mu)\)
    • \(\kappa \cdot(\lambda+\mu)=\kappa\cdot\lambda+\kappa\cdot\mu\)
    • \(\kappa^{\lambda+\mu}=\kappa^\lambda\cdot\kappa^\mu\)
    • \((\kappa\cdot\lambda)^\mu=\kappa^\mu\cdot\lambda^\mu\)
    • \((\kappa^\lambda)^\mu=\kappa^{\lambda\cdot\mu}\)
  • \(\kappa\leq\lambda\)
    • \(\kappa+(\cdot)\mu\leq\lambda+(\cdot)\mu\)
    • \(\kappa^\mu\leq\lambda^\mu\)
    • \(\mu^\kappa\leq\mu^\lambda(\kappa\neq 0\vee\mu\neq 0)\)
  • 对无穷基数\(\kappa\)
    • \(\kappa\cdot\kappa=\kappa\)
    • \(\kappa+\lambda=\kappa\cdot\lambda=\max(\kappa,\lambda)\)
      • 推论:\(\kappa+\kappa=\kappa\cdot\kappa=\kappa\)
    • \(\kappa^\kappa=2^\kappa\)

图的基本概念

• 可图化充要条件: \(2|d_1+\cdots+d_n\)
• 可简单图化充要条件:
  • Haval定理: 若有\(2|d_1+\cdots+d_n, n-1\geq d_1\geq\cdots\geq d_n\geq 0\), 则可简单图化\(\Leftrightarrow d'=(d_2-1,d_3-1,\cdots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\cdots,d_n)\)可简单图化.
  • 若有\(n-1\geq d_1\geq\cdots\geq d_n\geq 0\), 则可简单图化\(\Leftrightarrow 2|d_1+d_2+\cdots+d_n\)且对\(1\leq r\leq n-1(n)\)有\(d_1+d_2+\cdots+d_r\leq r(r-1)+\min(r,d_{r+1})+\cdots+\min(r,d_n)\)
• 子图: \(G'\subseteq G\), 真子图, 生成子图\(G'\subseteq G\wedge V'=V\)
• 导出子图\(G[V_1]\): \(V_1\subset V, E_1=E\cap (V_1 \& V_1)\);\(G[E_1]\)
• \(G-e,G-E',G-v,G-V'\)
• G\e: 删除\(e\), 合并\(u\)与\(v\)
• \(G\cup(u,v)\): 在\(u\)与\(v\)之间加新边
• 联图: \(G_1+G_2=\langle V_1\cup V_2, E_1\cup E_2\cup (V_1\& V_2)\rangle\)
• 积图: \(G_1\times G_2=\langle V_1\times V_2,E\rangle, E=\{(\langle u_i,u_j\rangle, \langle u_k,u_s\rangle)\mid (u_i=u_k\wedge \langle u_j,u_s\rangle\in E_2)\vee(u_j=u_s\wedge\langle u_i,u_k\rangle\in E_1)\}\)

通路与回路

• 通路: 顶点与边的交替序列; 回路
  • 简单: 没有重复边
  • 复杂: 有重复边
  • 初级: 没有重复顶点(路径, 圈)
  • \(G\)为含圈的无向简单图, 最长圈的长度\(c(G)\), 最短圈的长度\(g(G)\)
• 在\(n\)阶图\(G\)中. 若从不同顶点\(v_i\)到\(v_j\)有通路, 则从\(v_i\)到\(v_j\)有长度小于等于\(n-1\)的通路(初级通路)

无向图的连通性

• 连通数\(p(G)\)
• 弱连通: 有向图的基图是连通图
• 竞赛图一定有路径经过每个顶点恰好一次
• 有向图\(D\)强连通\(\Leftrightarrow D\)中有回路(不一定是简单回路)过每个顶点至少一次; 单向连通\(\Leftrightarrow D\)中有通路(不一定是简单通路)过每个顶点至少一次

无向图的连通度

• 点割集\(V'\): \(\empty\neq V'\subset V,p(G-V')>p(G),\forall V''\subset V',p(G-V'')=p(G)\)
• 割点\(v\): \(\{v\}\)是割集
• 边割集\(E'\): \(\empty\neq E'\subset E,p(G-E')>p(G),\forall E''\subset E',p(G-E'')=p(G)\)
  • \(p(G-E')=p(G)+1\)
• 割边\((u,v)\): \(\{(u,v)\}\)是边割集
• \(I_G(v)\)不一定满足边割集的极小性条件, \(I_G(v)\)是边割集\(\Leftrightarrow v\)不是割点.
  • 扇形割集\(E'\subseteq I_G(v)\)
• 点连通度: \(\kappa(G)=\min\{|V'|\mid V'\)是点割集\(\}\)
  • 规定\(\kappa (K_n)=n-1\), 非连通图\(\kappa(G)=0\)
• 边连通度: \(\lambda(G)=\min\{|E'|\mid E'\)是边割集\(\}\)
  • 若\(E'\)是非完全图\(G\)的最小边割集, \(G-E'\)的两个连通分支为\(G_1,G_2\), 则\(\exist u\in G_1,v\in G_2,(u,v)\notin E(G)\)
• k-连通图: \(\kappa(G)\geq k\); k-边连通图: \(\lambda(G)\geq k\)
• Whitney定理: \(\kappa(G)\leq\lambda(G)\leq\delta(G)\)
• Menger定理: 最小的x-y割包含的顶点数=最大的x-y独立路径的条数
• 3阶以上的无向简单连通图G是2(k)-(边)连通图
  • 任两顶点共圈
  • 任两顶点之间有2(k)条以上独立路径(边不交路径)
• 块: 极大无割点连通子图
  • 任意两顶点共圈
  • 任意一顶点与任意一边共圈
  • 任意两边共圈
  • 任意2顶点与任意1边, 有路径连接这2顶点并经过这1边
  • 任意3顶点, 有路径连接其中2个并经过第三个
  • 任意3顶点, 有路径连接其中2个并不经过第三个
• 2-连通\(\subset\)块, 2-边连通\(\neq\) 块
• \(\kappa,\lambda,\delta\)仅有以下三种关系:
  • \(\kappa=\lambda=\delta=n-1\)
  • \(1\leq 2\delta-n+2\leq\kappa\leq\lambda=\delta\leq n-2\)
  • \(0\leq\kappa\leq\lambda\leq\delta\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)
• G是n阶无向简单连通图, \(\lambda\leq\delta\), 则存在\(G^*\)以G为生成子图, 其由\(K_{n_1},K_{n_2}\)以及它们之间的\(\lambda(G)\)条边组成,\(\lambda(G)+2\leq n_1\leq \lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)
  • \(\delta(G)\leq\delta(G^*)\leq n_1-1\leq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)
  • \(G^*\)中有不相邻顶点\(u,v\)使得\(d_{G^*}(u)+d_{G^*}(v)\leq n-2\).
  • \(d(G)\geq d(G^*)\geq 3\)
• \(G\)是6阶以上的无向简单连通图
  • \(\delta(G)\geq\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\Rightarrow\lambda(G)=\delta(G)\)
  • \(\forall\)不相邻\(u,v\)均有\(d(u)+d(v)\geq n-1\Rightarrow\lambda(G)=\delta(G)\)
  • \(d(G)\leq 2\Rightarrow \lambda(G)=\delta(G)\)
• G是n阶简单连通无向非完全图, 则\(2\delta-n+2\leq\kappa\)

欧拉图与哈密顿图

• 欧拉通路, 欧拉图

  • 欧拉通路: 经过图中所有边的简单路
  • 半欧拉图: 有欧拉通路的图
  • 欧拉回路: 经过图中所有边的简单回路
  • 欧拉图: 有欧拉回路的图

• \(G\)为无向连通图, 以下条件等价:

  • \(G\)是欧拉图
  • \(G\)中所有顶点都是偶数度
  • \(G\)是若干个边不相交的圈的并

• \(G\)为无向连通图, \(G\)为半欧拉图\(\Leftrightarrow G\)中恰有两个2奇度顶点.

• \(G\)为有向连通图, 则以下条件等价

  • \(G\)是欧拉图
  • \(\forall v\in V(G), d^+(v)=d^-(v)\)
  • \(G\)是若干个边不交有向圈的并

• \(G\)为有向连通图, \(G\)为半欧拉图\(\Leftrightarrow G\)中恰有两个2奇度顶点, 其中一个入度比出度大一, 另一个出度比入度大一, 其与顶点入度等于出度.

• Fleury算法: 从任意一点开始, 沿着没有走过的边向前走. 在每个顶点, 优先选择剩下的非桥边, 除非只剩下唯一一条边. 直到得到欧拉回路或宣布失败.

• 逐步插入回路算法: 每次求出一条简单回路, 把新求出的回路插入老回路, 合并成一个更大的回路, 直到得到欧拉回路或宣布失败.

• 哈密顿通路, 哈密顿图

  • 哈密顿通路: 经过图中所有顶点的初级路
  • 半哈密顿图: 有哈密顿通路的图
  • 哈密顿回路: 经过图中所有顶点的初级回路
  • 哈密顿图: 有哈密顿回路的图

• 无向哈密顿图的必要条件: \(\forall V_1\subsetneqq V,V_1\neq\empty\), 有\(p(G-V_1)\leq |V_1|\).

  • 非充分条件: Petersen图, 为半哈密顿图.

• 无向半哈密顿图的必要条件: \(\forall V_1\subsetneqq V,V_1\neq\empty\), 有\(p(G-V_1)\leq |V_1|+1\).

• 无向半哈密顿图的充分条件: \(|V(G)|\geq 2, \forall u,v\in V(G)\)且\(u,v\)不相邻, 有\(d(u)+d(v)\geq n-1\).

• 无向哈密顿图的充分条件:

  • \(|V(G)|\geq 3, \forall u,v\in V(G)\)且\(u,v\)不相邻, 有\(d(u)+d(v)\geq n\).
  • \(|V(G)|\geq 3, \forall u\in V(G)\), 有\(d(u)\geq \frac{n}{2}\).

• 设\(u,v\)是无向\(n\)阶简单图\(G\)中两个不相邻顶点, 且\(d(u)+d(v)\geq n\), 则\(G\)为哈密顿图\(\Leftrightarrow G\cup (u,v)\)是哈密顿图.

• 有向半哈密顿图的充分条件: \(D\)是\(n\)阶竞赛图, 则\(D\)是半哈密顿图.

  • 推论: 设\(D\)是\(n\)阶有向图, 若\(D\)含有\(n\)阶竞赛图作为子图, 则\(D\)是半哈密顿图.

• 有向哈密顿图的充分条件: 强连通的竞赛图是哈密顿图.

• \(K_{2k+1}(k\geq 1)\)中同时有\(k\)条边不重的哈密顿回路, 且这\(k\)条边不重的哈密顿回路含有\(K_{2k+1}\)中的所有边.

  • 推论: 完全图\(K_{2k}(k\geq 2)\)中同时有\(k-1\)条边不重的哈密顿回路,除此之外, 剩下的是\(k\)条彼此不相邻的边.

树, 生成树

• 树: 连通无回路的图
  • 树叶: 树中1度顶点
  • 分支点: 树中2度以上顶点.
  • 平凡树: 无树叶, 无分支点
  • 森林: 无回图
    • 森林的每个连通分支都是树
• \(G=\langle V,E\rangle\)是\(n\)阶\(m\)边无向图, 则以下条件等价:
  • \(G\)是树
  • \(G\)中任意两个顶点之间有唯一路径
  • \(G\)无圈\(\wedge n=m-1\)
  • \(G\)连通\(\wedge n=m-1\)
  • \(G\)极小连通: 连通\(\wedge\)所有边是桥
  • \(G\)极大无回: 无圈\(\wedge\)增加任何新边产生唯一圈
• 非平凡树中至少有两个树叶
• 星: \(S_n = K_{1,n-1}\)
• 生成树: \(T\subseteq G\wedge V(T)=V(G)\wedge T\)是树
  • 树枝: \(e\in E(T)\), 共\(n-1\)条
  • 弦: \(e\in E(G)-E(T)\), 共\(m-n+1\)条
  • 余树: \(G[E(G)-E(T)]=\overline{T}\)
• 无向图\(G\)连通\(\Leftrightarrow G\)有生成树
  • \(G\)是\(n\)阶\(m\)边无向连通图\(\Leftrightarrow m\geq n-1\)
  • \(T\)是\(G\)的生成树, 则\(|E\overline{T}|=m-n+1\)
  • \(T\)是无向连通图\(G\)的生成树, \(C\)是\(G\)中的圈, 则\(E(\overline{T})\cap E(C)\neq\emptyset\)
  • \(T\)是无向连通图\(G\)的生成树, \(S\)是\(G\)中割集, 则\(E(T)\cap S\neq\emptyset\).
• \(G\)为连通图, \(T\)是\(G\)的生成树, \(e\)是\(T\)的弦, 则\(T\cup e\)中存在由\(e\)和其它树枝组成的圈, 并且不同的弦对应不同的圈.
• \(G, T, \overline{T}=\{e_1',e_2',\cdots,e_{m-n+1}'\}\)
  • 基本回路: \(T\cup e_r'\)中的唯一回路\(C_r\).
  • 基本回路系统: \(\{C_1,C_2,\cdots,C_{m-n+1}\}\)
  • 圈秩\(\xi(G)=m-n+1\)
• \(G\)为连通图, \(T\)是\(G\)的生成树, \(e\)是\(T\)的树枝, 则\(G\)中存在由树枝\(e\)和其它弦组成的割集, 并且不同的树枝对应不同的割集.
• \(G, T, T=\{e_1,e_2,\cdots,e_{n-1}\}\)
  • 基本割集: \(e_r\)中的唯一割集\(S_r\).
  • 基本割集系统: \(\{S_1,S_2,\cdots,S_{n-1}\}\)
  • 割集秩\(\eta (G)=n-1\)
• 生成树的计数
  • \(\tau(G)\): 标定图\(G\)的生成树个数
  • \(G-e\): 删除; \(G \backslash e\) 收缩
  • \(\forall e\)非环边. \(\tau(G)=\tau(G-e)+\tau(G\backslash e)\)
  • Cayley公式: \(n\geq 2, \tau(K_n)=n^{n-2}\)

图的矩阵表示

• \(D=\langle V,E\rangle\)为无环有向图, \(V=\{v_1,\cdots,v_n\}, E=\{e_1,\cdots,e_m\}\). 关联矩阵\(M(D)=[m_{ij}]_{n\times m}\), $$m_ij=\begin{cases}
  1 & v_i是e_j的起点 \
  0 & v_i与e_j不关联 \
  -1 & v_i是e_j的终点
  \end{cases}$$
  • \(\sum_{i=1}^n m_{ij}=0\)
  • \(d(v_i)=\sum_{j=1}^m m_{ij}\)
  • 握手定理: \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m m_{ij}=0\)
• \(G=\langle V,E\rangle\)为无环无向图, \(V=\{v_1,\cdots,v_n\}, E=\{e_1,\cdots,e_m\}\). 关联矩阵\(M(G)=[m_{ij}]_{n\times m}\), $$m_ij=\begin{cases}
  1 & v_i是e_j的关联 \
  0 & v_i与e_j不关联
  \end{cases}$$
  • \(\sum_{i=1}^n m_{ij}=2\)
  • \(d(v_i)=\sum_{j=1}^m m_{ij}\)
  • 每行所有\(1\)对应的边构成断集(\(v_i\)的关联集)
  • 伪对角阵: 对角块是连通分支
• \(G\)连通\(\Rightarrow r(M(G))=n-1\)
• \(D=\langle V,E\rangle\)为无环无向图, \(V=\{v_1,\cdots,v_n\}, E=\{e_1,\cdots,e_m\}\).
  • 参考点: 任意一个顶点
  • 基本关联矩阵: 从\(M(G)\)中删除参考点所对应的行, 记作\(M_f(G)\).
  • \(G\)连通\(\Leftrightarrow r(M(G))=r(M_f(G))=n-1\)
  • 求生成树: \(M_f'\)是\(M_f(G)\)中任意\(n-1\)列组成的方阵, \(M_f'\)中各列对应的边集为\(\{e_{i1},\cdots, e_{i(n-1)}\}\), 则\(T\)是\(G\)的生成树\(\Leftrightarrow M'f\)的行列式\(|M'_f|\neq 0\)
• \(D=\langle V,E\rangle\)是有向图, \(V=\{v_1,\cdots, v_n\}\).邻接矩阵\(A(D)=[a_{ij}]_{n\times n}\), \(a_{ij}=\)从\(v_i\)到\(v_j\)的边数.
  • \(\sum_{j=1}^na_{ij}=d^+(v_i)\)
  • \(\sum_{i=1}^na_{ij}=d^-(v_j)\)
  • \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}=m\)
  • 环个数\(\sum_{i=1}^na_{ii}\).
  • 记\(A(D)=A=[a_{ij}]_{n\times n}, A^r=A^{r-1}\cdot A, A^r=[a_{ij}^{(r)}]_{n\times n}, B_r=A+A^2+\cdots + A^r=[b_{ij}^{(r)}]_{n\times n}\).
    • \(a_{ij}^{(r)}\)为从\(v_i\)到\(v_j\)长度为\(r\)的通路; \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}^{(r)}\)为长度为\(r\)的通路总数; \(\sum_{i=1}^n a_{ii}^{(r)}\)为长度为\(r\)的回路总数.
    • \(b_{ij}^{(r)}\)为从\(v_i\)到\(v_j\)长度\(\leq r\)的通路; \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nb_{ij}^{(r)}\)为长度\(\leq r\)的通路总数; \(\sum_{i=1}^n b_{ii}^{(r)}\)为长度\(\leq r\)的回路总数.
• \(D=\langle V,E\rangle\)是有向图, \(V=\{v_1,\cdots, v_n\}\).可达矩阵\(P(D)=[p_{ij}]_{n\times n}\), \(p_{ij}=\)[从\(v_i\)可达\(v_j\)].
  • 主对角线元素均为1
  • 强连通图: 所有元素均为1
  • 伪对角阵: 对角块是连通分支的可达矩阵
  • \(\forall i\neq j, p_{ij}=1\Leftrightarrow b^{n-1}_{ij}>0\)
• \(G=\langle V,E\rangle\)是无向简单图, \(V=\{v_1,\cdots, v_n\}\).相邻矩阵\(A(G)=[a_{ij}]_{n\times n}\), \(a_{ij}=\)[\(v_i\)与\(v_j\)相邻且\(i\neq j\)].
  • 对称矩阵\(a_{ij}=a_{ji}\).
  • \(\sum_{i=1}^n a_{ij}=d(v_j)\)
  • \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}=2m\)
  • 记\(A(G)=A=[a_{ij}]_{n\times n}, A^r=A^{r-1}\cdot A, A^r=[a_{ij}^{(r)}]_{n\times n}, B_r=A+A^2+\cdots + A^r=[b_{ij}^{(r)}]_{n\times n}\).
    • \(a_{ij}^{(r)}\)为从\(v_i\)到\(v_j\)长度为\(r\)的通路; \(\sum_{i=1}^n a_{ii}^{(r)}\)为长度为\(r\)的回路总数.
      • \(a_{ii}^{(2)}=d(v_i)\)
      • \(G\)连通\(\Rightarrow\)距离\(d(v_i,v_j)=\min\{r\mid a_{ij}^{(r)}\neq 0\}\)
• \(G=\langle V,E\rangle\)是无向简单图, \(V=\{v_1,\cdots, v_n\}\).连通矩阵\(P(G)=[a_{ij}]_{n\times n}\), \(a_{ij}=\)[\(v_i\)与\(v_j\)连通].
  • 主对角线元素均为1
  • 连通图: 所有元素均为1
  • 伪对角阵: 对角块是连通分支的连通矩阵
  • \(\forall i\neq j, p_{ij}=1\Leftrightarrow b^{n-1}_{ij}>0\)

平面图

• 平面图: 在平面上边与边不在非顶点处相交的图
• 可平面图: 可以画在平面上,使得边与边不在非顶点处相交的图
• 平面嵌入: 画在平面上,使得边与边不在非顶点处相交
  • 球面嵌入, 曲面嵌入
  • 可球面嵌入\(\Leftrightarrow\)可平面嵌入
• 面
  • 区域: 不含顶点与边的极大连通曲面\(R\)
  • 外部区域: 面积无限的区域\(R_0\)
  • 区域边界: 与\(R\)关联的边与顶点构成的子图\(\partial R\)
  • 面: 区域及其边界
    • 外部面: 面积无限的面; 内部面
    • 任何平面嵌入的内部面都可以在另一种平面嵌入下成为外部面
  • 面的次数: \(\deg(R)=\)边界长度
    • \(\sum_{i=1}^r\deg(R_i)=2m\)
• 极大平面图: 简单平面图, 在任意两点间不相邻顶点间连边就是非平面图
  • \(n(n\geq 3)\)阶简单连通平面图是极大平面图\(\Leftrightarrow \forall R,\deg(R)=3\), 此时\(2m=3r\).
• 极小非平面图: 是非平面图, 但任意删去一条边就是平面图
• 欧拉公式: 设\(G\)是连通平面图, 则\(n-m+r=2\), 其中\(r\)为\(G\)的面数.
  • 推广形式: \(2\to p+1\), \(p\)为连通分支数
• 设\(G\)为连通平面图, \(G\)的各面次数至少是\(l(l\geq 3)\), 则\(m\leq (n-2)\frac{l}{l-2}\)
  • \(m\leq (n-p-1)\frac{l}{l-2}\)
  • \(K_3,K_{3,3}\)均不是平面图
• Jordan定理
  • Jordan曲线: 自身不相交的封闭曲线
  • Jordan曲线将平面分为两部分, 连接内部与外部点的任意曲线必然与Jordan曲线相交
• 对简单平面图\(G\)有\(m\leq 3n-6\), \(G\)极大时取等.
• 对简单平面图\(G\), \(\delta(G)\leq 5\)
• 同胚
  • 插入2度顶点: \((u,v)\to (u,w),(w,v)\)
  • 删除2度顶点: \(\deg(w)=2,(u,w)(w,v)\to(u,v)\)
  • 同胚: 反复插入或删除2度顶点后图同构
• Kurartowski定理: \(G\)为平面图\(\Leftrightarrow G\)没有与\(K_5\)或\(K_{3,3}\)同胚的子图\(\Leftrightarrow G\)没有可以边收缩到\(K_5\)或\(K_{3,3}\)的子图.
• 对偶图
  • 平面图\(G=\langle V,E\rangle\), 面集合为\(R\)
  • 对偶图\(G^*=\langle V^*,E^*\rangle\), 面集合为\(R^*\)
  • \(V^*\)与\(R\),\(E^*\)与\(E\)一一对应
  • 性质
    • 连通平面图
    • 环与桥互相对偶
    • \(n^*=r,m^*=m\)
    • \(r^*=n-p+1(n-m+r=1+p,n^*-m^*+r=2)\)
    • \(d_{G^*}(V_i^*)=\deg_G(R_i)\)
    • \(G_1\cong G_2\)不一定能推出\(G_1^*\cong G_2^*\)
    • \(G\)连通\(\Leftrightarrow G\cong G^{**}\)
    • 自对偶图: \(G\cong G^*\)
      • 轮图(正\(n-1\)边形中有一点同时连向\(n-1\)个点)为自对偶图
• 外平面图: 平面图的所有点可都在一个面的边界上
  • 充要条件: \(G\)为外平面图\(\Leftrightarrow G\)没有与\(K_4\)或\(K_{2,3}\)同胚的子图
  • 极大外平面图
    • \(n\)阶外平面图, 所有顶点均在外部面边界上,则\(G\)为极大外平面图\(\Leftrightarrow G\)外部面边界为\(n-\)圈, 所有内部边界为\(3-\)圈
    • 必要条件: 所有顶点均在外部面边界上
      • \(G\)有\(n-2\)个外部面
      • \(m=2n-3\)
      • 至少有三个顶点度数\(\geq 3\)
      • 至少有两个顶点度数\(=2\)
      • 点连通度\(\kappa=2\)
• Tait猜想: 3连通3正则的平面图都是哈密顿图
• 平面哈密顿图充分条件(Tutte定理): 4连通平面图是哈密顿图
• 平面哈密顿图必要条件(Grinberg): \(n\)阶简单平面哈密顿图, 哈密顿回路内(外)部次数为\(i\)的面数为\(r_i'(r_i'')\Leftarrow \sum_{i=3}^n (i-2)(r_i'-r_i'')=0\)

点着色与色多项式

• 着色: 给无环图的每个顶点指定一种颜色,使得相邻顶点有不同颜色
  • 颜色集\(C=\{1,2,\cdots,k\}\), k-着色
• 色数
  • k-色图: 可k-着色, 但不可(k-1)-着色
  • 色数: 着色需要的最少色数
  • 点色数\(\chi(G)\), 边色数\(\chi'(G)\), 面色数\(\chi^*(G)\)
  • 性质
    • \(\chi(G)=1\Leftrightarrow G\)是零图
    • \(\chi(K_n)=n\)
    • \(\chi(G)=2\Leftrightarrow G\)是非零图二部图
    • G可2-着色\(\Leftrightarrow\)G是非零二部图\(\Leftrightarrow\)G无奇圈
    • \(\chi(C_n)=2+n\bmod 2\)
    • \(\chi(W_n)=3+[2\mid n]\)
• \(\chi(G)\leq\Delta(G)\)
• Brooks定理: \(n(n\geq 3)\)阶连通非完全图\(G\)非奇圈\(\Leftrightarrow \chi(G)\leq\Delta(G)\)
• 对图\(G\)进行\(\chi(G)\)-着色,
  • 设\(V_i=\{v\mid v\in V(G)\wedge v着颜色i\}\), 则\(\Pi=\{V_1,V_2,\cdots,V_{\chi(G)}\}\)是\(V(G)\)的划分,且\(V_i\)中的点构成独立集.
  • \(R=\{(u,v)\mid u,v\in V(G)\wedge u,v着同色\}\), 则\(R\)是\(V(G)\)上的等价关系
• 色多项式\(f(G,k)=\)图G的不同k-着色的总数
  • 对完全图\(f(K_n,k)=k(k-1)\dots(k-n+1)=f(K_{n-1},k)(k-n+1)\)
  • 零图\(f(N_n,k)=k^n\)
• 递推公式
  • 若\((u,v)\notin E(G), f(G,k)=f(G\cup (u,v),k)+f(G\)\\((u,v),k)\)
  • 若\(e=(u,v)\in E(G), f(G,k)=f(G-e,k)-f(G\)\\(e,k)\)
  • 推论: \(f(G,k)=\sum_{i=1}^r f(K_{n_i},k),\chi(G)=\min(n_1,\cdots,n_r)\)
• 色多项式性质
  • \(f(G,k)\)是\(n\)次多项式, 系数正负号交替
  • \(k^n\)系数为1, \(k^{n-1}\)系数为\(-m\), 常数项为0
  • 最低非零项次数为\(k^p\), 其中\(p\)为连通分支数
  • 不同连通分支相乘
  • T是n阶数\(\Leftrightarrow f(T,k)=k(k-1)^{n-1}\)
  • C是n阶圈\(\Rightarrow (k-1)^n+(-1)^n(k-1)\)
• 设\(V_1\)是\(G\)的点割集,且\(G[V_1]\)是\(G\)的完全子图\(K_{|V_1|}\), 若\(G-V_1\)有\(p\)个连通分支\(G_1,\cdots,G_p(p\geq 2)\), 且\(H_i=G[V_1\cup V(G_i)]\), 则\(f(G,k)=\frac{\prod_{i=1}^p f(H_i,k)}{f(G[V_1],k)^{p-1}}\)

地图着色, 平面图点着色与边着色

• 地图: 连通无桥的平面图的平面嵌入及其所有的面
  • 国家: 平面地图的面
  • 相邻: 两国的公共边界至少有一条公共边
  • k-面着色, k-色地图, 面色数\(\chi^*(G)\)
• 地图\(G\)可k-面着色\(\Leftrightarrow\)对偶图\(G^*\)可k-着色\(\Leftrightarrow\)连通无环平面图\(G\)可k-着色
• Heawood定理: 任何平面图都可5-着色
• Vizing定理: G是简单图\(\Rightarrow \Delta(G)\leq\chi'(G)\leq\Delta(G)+1\)
  • G是二部图\(\Rightarrow\chi'(G)=\Delta(G)\)
  • \(\chi'(K_n)=n-[2\mid n]\)
• 同色边可以构造等价关系, 且构成边独立集(匹配)

支配集, 点覆盖集, 点独立集

• 支配集
  • 支配: \(G=\langle V,E\rangle, e=(u,v)\Leftrightarrow u(v)\)支配\(v(u)\)
  • 支配集: \(V^*\subseteq V,\forall v\in V-V^*, \exist u\in V^*, u\)支配\(v\)
  • 极小支配集, 最小支配集
  • 支配数\(\gamma_0(G)\): 最小支配集的顶点数
• 无向图\(G\)无孤立点, \(V_1^*\)是极小支配集, 则存在\(V_2^*\)也是极小支配集且\(V_1^*\cap V_2^d*=\emptyset\)
• 独立集:
  • 独立集: \(V^*\subseteq V,\forall u,v\in V^*, u\)与\(v\)不相邻
  • 极大独立集, 最大独立集
  • 点独立数\(\beta_0(G)\)最大独立集的顶点数
• 无向图\(G\)中, \(V^*\)是极大独立集\(\Rightarrow V^*\)是极小支配集
  • 推论: \(\gamma_0(G)\leq \beta_0(G)\)
• 团
  • \(V^*\subseteq V,G[V^*]\)是完全子图
  • 极大团, 最大团
  • 团数\(\nu_0(G)\)最大团的顶点数
• \(V^*\)是\(G\)的团\(\Leftrightarrow V^*\)是\(\overline{G}\)的独立集
  • \(\nu_0(G)=\beta_0(\overline{G})\)
  • \(V^*\)是\(G\)的极(最)大团\(\Leftrightarrow V^*\)是\(\overline{G}\)的极(最)大独立集
• 点覆盖
  • \(V^*\subseteq V,\forall e\in E,\exist v\in V^*,v\)关联\(e\)
    • 点覆盖需要包含所有带环点
  • 极小点覆盖, 最小点覆盖
    • 极小点覆盖不包含孤立点
  • 点覆盖数\(\alpha_0(G)\)
• 无孤立点图中, 点覆盖是支配集
  • \(\gamma_0\leq\alpha_0\)
  • 点覆盖加所有孤立点是支配集
  • 极小点覆盖不一定是极小支配集
  • 支配集不一定是点覆盖'
• 无向图\(G\)无孤立点, \(V^*\subseteq V\), \(V^*\)是点覆盖\(\Leftrightarrow V-V^*\)是独立集
  • 推论: \(V^*\)是极(最)小点覆盖\(\Leftrightarrow V-V^*\)是极(最)大独立集. \(\alpha_0+\beta_0=n\)

边覆盖集与匹配

• 对无孤立点图\(G\), 边覆盖集: \(E^*\subseteq E, \forall v\in V, \exist e\in E^*, e\)关联\(v\).
  • 极小边覆盖, 最小边覆盖
  • 边覆盖数\(\alpha_1\)
• 匹配: \(E^*\subseteq E,\forall e,f\in E^*,e,f\)不相邻
  • 极大匹配, 最大匹配
  • 匹配数\(\beta_1\)
  • 饱和点: 匹配中边所关联的顶点
  • 完美匹配: 没有非饱和点的匹配
• 无向图\(G\)无孤立点
  • 设\(M\)为最大匹配, \(\forall\)非饱和点\(v\), 取与\(v\)关联的一边, 组成边集\(N\), 则\(W=M\cup N\)是最小边覆盖
  • 设\(W_1\)是最小边覆盖, 若\(W_1\)有相邻边, 就删除其中一边, 直到无相邻边为止, 则删除边之后得到的边集是最大匹配
  • \(\alpha_1+\beta_1=n\)
  • 推论: 无向图\(G\)无孤立点, \(M\)是匹配, \(W\)是边覆盖, 则\(|M|\leq|W|\), 等号成立时, \(M\)是完美匹配, \(W\)是最小边覆盖
• 无向图\(G\)无孤立点, \(M\)是匹配, \(N\)是点覆盖, \(Y\)是独立集, \(W\)是边覆盖, 则
  • \(|M|\leq |N|\), 等号成立时\(M\)是最大匹配, \(N\)是最小点覆盖
  • \(|Y|\leq |W|\), 等号成立时\(Y\)是最大独立集, \(W\)是最小边覆盖
  • 推论: \(\beta_1\leq\alpha_0,\beta_0\leq\alpha_1\)
• 交错路径: 在匹配中的和在匹配外交替取边的路径.
• 设\(M_1,M_2\)是\(G\)中2个不同匹配, 则\(G[M_1\oplus M_2]\)的每个连通分支是\(M_1\)和\(M_2\)中边组成的交错圈或交错路径.
• 可增广(交错)路径: 两端都是非饱和点的交错路径
• 设\(M\)是\(G\)中匹配, \(\Gamma\)是\(M\)的可增广路径, 则\(M'=M\oplus E(\Gamma)\)也是\(G\)中匹配, 且\(|M'|=|M|+1\).
• Berge定理: \(M\)是\(G\)中最大匹配\(\Leftrightarrow G\)中无\(M\)增广路径
• Tutte定理: \(G\)有完美匹配\(\Leftrightarrow \forall V'\subseteq V(G). p_奇(G-V')\leq |V'|\)
  • 推论: 无桥的3-正则图均有完美匹配

二部图中的匹配

• 二部图\(G=\langle V_1,V_2,E\rangle, |V_1|\leq |V_2|, M\)是完美匹配\(\Rightarrow |M|=|V_1|\)
• Hall条件: \(\forall S\subseteq V_1,|S|\leq |N(S)|, N(S)=\{u\mid\exist v\in S, (v,u)\in E\}=\cup_{v\in S}\Gamma(v)\)
• Hall定理: 二部图\(G\)有完美匹配\(\Leftrightarrow G\)满足Hall条件
• t-条件: \(V_1\)中每个顶点至少关联\(t\)条边\(\wedge V_2\)中每个顶点至多关联\(t\)条边
• G满足t-条件\(\Rightarrow G\)中存在完美匹配
• k-正则二部图中, 存在k个边不重的完美匹配
• 无孤立点的二部图中\(\alpha_0=\beta_1\).