0527学习笔记 张宇基础30讲——第九讲一元函数积分学的几何应用

一维（考函数的平均值——积分中值定理）：在区间内可找到一点ξ，使得f(ξ)*（b-a）= ∫ (a,b) f(x) dx（ 即f(x)的平均值f(ξ)×区间长度 = f(x)在区间内围成的面积）

二维（考曲线围成的面积）：3种考法：直角坐标系下的曲线、参数方程下的曲线、极坐标系下的曲线

　　直角坐标系下的曲线：最简单，相当于直接算积分

　　参数方程下的曲线：将x、y变成d，也就是把 ∫ f(x) dx 变成 ∫ y(t) d(x(t))【三换，这里不方便标出区间，关键点抓住dt】

　　极坐标系下的曲线：抓住1/2*底*高【1. 借直角坐标画出极坐标下的图像 2. 选取某一小块与原点相连维成一块小面积 3. 计算这一块的面积，然后再加上积分符号和区间（注：两条线都能看作90°即r作高，则面积为1/2*r^rdθ，其中底边长为弧长r*θ）】

三维（考曲线旋转后的体积）：绕x轴转和绕y轴转【1条曲线转 / 2条曲线转】

　　绕x轴转则小块面积为一个圆柱，其中底面积Π*r^2，厚度dx

　　绕y轴转则小块面积要展开为一个长方体，其中长为周长，宽为dx，高为y

 

注意二维求面积和三维求体积计算是要小心 面积或体积 是否为负【为负要加绝对值】