0508学习笔记 张宇基础30讲——第7讲零点问题与微分不等式

零点问题（题目问法：有几个根、根是否存在这种与根有关的）

　　1. 零点定理——若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0，则f(x)=0在(a,b)上至少有一个实根

　　2. 单调性——若f(x)在[a,b]上连续且f'(x)≠0，则f(x)在[a,b]上最多有一个实根

　　3. 罗尔原话——若f (n) (x)=0至多有k个实根，则f(x)=0至多有n+k个实根（若f(x)是n次多项式，则f(n)(x)≠0，即f(n)(x)至多有0个实根，f(x)至多有n个实根）一般用于确定上限

　　　　加粗题的题目：

　　　　f(n)（x） = 0也可能没有根，还得看Δ：

　　　　　　　　

　　4. 实系数奇次方程至少有一个实根

　　　　

 

微分不等式（题目问法：证明不等式成立，如：>，< 等）

1. 函数形态（利用单调性、最值、凹凸性）

2. 常数变量化【b —>x、a —>x、b/a —> x】

3. 中值定理：拉格朗日/泰勒公式