0418-0420学习笔记张宇基础30讲——第三讲函数极限与连续性

函数极限：

ε（epsilon），δ（delta）

　　邻域：

　　一维：

　　　　邻域：数轴上以x0为中心的任何开区间（δ邻域：存在一个点x0，存在一个数 δ ，若x∈（x0-δ，x0+δ），则x属于x0的δ邻域）

　　　　去心邻域：存在一个点x0，存在一个数 δ ，若x∈（x0-δ，x0）（x0，x0+δ），则x属于x0的去心邻域

　　二维：

　　　　δ邻域：存在一个点P0（x0，y0) ，存在一个数 δ ，P（x,y）到P0的距离小于δ，则x属于x0的δ邻域

　　　　去心邻域：存在一个点P0，存在一个数 δ ，若存在一个点P，使得0< | P0-P | <δ，则P属于P0的去心邻域

　　定义：①任意 ε > 0　　②存在 δ > 0　　③若 | x - x0 | < δ　　④ | f (x) -A | ＜ ε

　　　　　　存在一个常数A，若对于给定的任意整数ε（无论多小），总存在正数 δ，使得当 0 < | x - x0 | < δ 时，总满足 | f (x) - A | ＜ ε，则A为函数f(x)当x—>x0时的极限值

　　函数极限存在的充要条件：左极限=右极限（当x趋于某一点时函数极限存在和该点没有任何关系）【证明函数极限存在的方法：① 单调有界法则【单调有界的函数/数列必有极限/收敛】——先证明函数有极限（单调性递增递减，有界为A），再把极限值算出来（将A带入题目给的条件）② 夹逼准则】

　　等式脱帽法：当x趋于x0时，lim f(x) = A可以得出 f(x) = A + α(x)，其中 lim α（x）= 0

　　　　　　ps：α（x）不一定是x的高阶无穷小，具体多大还是得看对f(x)-A求极限之后x的次数是多少（具体问题具体分析）

　　性质：

　　　　① 唯一性：函数f(x)当x—>x0存在极限值时，极限值唯一【左右极限不相等导致极限不存在的例子：① x->∞, lim e^x、② x->∞，lim sinx / |x| 、③ x->∞，lim arctanx、④ x->0，lim [x]】

　　　　② 局部有界性：函数f(x)当x—>x0存在极限值时，若存在正整数M和δ，则函数在 0< |x-x0| < δ 处有f(x)<=M

　　　　③ 局部保号性：当函数f(x)在x—>x0时的极限值为 A（ A>0 / A < 0 ），则 f ( x ) > 0 / f ( x ) < 0 ；当 f ( x ) >= 0 / f ( x ) <= 0时，A>=0 / A<=0

　　　　　　证明局部保号性：当x趋于x0时，有f(x) = A，存在一个无论有多小的正整数δ，则有 | f(x) - A | < δ，即 - δ < f(x) - A < δ。设 δ = A/2，则有 - A/2 < f(x) - A < A/2，即A/2 < f(x) < 3/2*A，而A>0，因此 f(x)>0。【或许有人有疑问，若δ取2A，则f(x)不就是大于一个负数了吗？不就无法证明f(x)大于0了吗？但其实f(x)的取值和A是无比接近的，取值不会因为所给的范围改变而改变，比如0<1<2和-100<1<100是一个道理，我们证明了0<1<2，然后看着-100<1<100来怀疑1是否真的大于0是没必要的】

　　运算规则：【注意大前提——红色部分，比如①若有lim[(A+B)/C]，不能随便拆分成limA/C+limB/C，要判断limA/C和limB/C是否存在，存在才能拆；②若给出lim(a+b) = 2，lim(a-b) = 4，求a,b。不能直接拆分成lim a + lim b = 2，lim a - lim b = 4，然后加减。必须要u = a+b，v = a-b，lim u = 2 , lim v = 4，此时lim u 和lim v存在，则有lim u + lim v = lim (u+v) = 2+4 = 6，即lim 2a = 6，解出lim a = 3】

　　　　若存在 lim f ( x ) = A，lim g ( x ) = B，则有：

　　　　　　 ① lim [ f ( x ) * g ( x ) ] = A * B

　　　　　　② lim [ k* f ( x ) + g ( x ) ] = k * lim f ( x ) + lim g ( x ) = k*A + B

　　　　　　③ lim [ f ( x ) / g ( x ) ] = lim f ( x ) / lim g ( x ) = A / B

　　　　　　④ lim [ f ( x ) ^ n ] = [ lim f ( x ) ] ^ n

　　夹逼准则：（也可用于证明函数极限存在）

　　　　若 h ( x ) <( / <= ) f ( x ) < ( / <= ) g ( x )，且 lim h ( x ) = A， lim g ( x ) = A，则 lim f ( x ) = A

　　洛必达法则：

　　　　法则1：

　　　　　　① 0 / 0

　　　　　　② 函数 f ( x )，g ( x ) 可导

　　　　　　③ lim f ‘ ( x ) / g ‘ ( x ) 存在（若不存在，不证明 lim f ( x ) / g ( x ) 不存在，只能说明不能用洛必达法则来求极限）

　　　　　　则 lim f ‘ ( x ) / g ‘ ( x ) = lim f ( x ) / g ( x )　　——>　　若求出来的 lim f ‘ ( x ) / g ‘ ( x )仍属于0 / 0，且满足洛必达法则条件，则可继续洛

　　　　法则2：

　　　　　　① ∞ / ∞

　　　　　　② 函数 f ( x )，g ( x ) 可导

　　　　　　③ lim f ‘ ( x ) / g ‘ ( x ) 存在（若不存在，不证明 lim f ( x ) / g ( x ) 不存在，只能说明不能用洛必达法则来求极限）

　　　　　　则 lim f ‘ ( x ) / g ‘ ( x ) = lim f ( x ) / g ( x )　　——>　　若求出来的 lim f ‘ ( x ) / g ‘ ( x )仍属于∞ / ∞，且满足洛必达法则条件，则可继续洛

　　泰勒公式：

　　　　公式：

　　　　　　sinx 、 cosx、arcsinx、arccosx、tanx、arctanx、ln ( 1 + x )、e^x、（ 1 + x ）^ a

　　　　展开原则：

　　　　　　① A/B型：上下同阶（上下展开到相同阶）

　　　　　　② A-B型：幂次最低（左右展开到相同阶且不同系数）例如：求当x趋于0，lim(x+sinx)：x+sinx = x - (-sinx) =(泰勒)= x - (-x) = 2x。sinx没有继续展开是因为x和-x已经是同阶不同系数了

　　归结原则 / 海涅定理：将数列极限与函数极限连接起来【看到求极限的地方是n趋于∞就应该意识到这个是数列的极限】。若函数f(x)存在极限A，且xn为函数定义域内的任意一个收敛于x0的子数列（按函数顺序），则当n趋于∞，f(xn) = A = 当x趋于x0的f(x)，注意：xn不能取x0

　　　　例如：若极限lim sinx/x 存在，xn = 1/n 为 sinx / x 函数定义域内收敛于0的数列，且 xn = 1/n ≠ 0，则sin(1/n) / (1/n)收敛，且当x趋于0时，f(x) = sinx / x = A可以推出：当n趋于∞时，f(xn) = sin(1/n) / (1/n) = A

　　无穷小比阶：

　　　　定义：当x趋于x0或∞时，lim f(x) = 0，则f(x)为x趋于x0或∞时的无穷小

　　　　比阶：前提：lim f(x) = 0， lim g(x) = 0

　　　　① 若lim f(x)/g(x) = 0，则f(x)是比g(x)高阶的无穷小

　　　　② 若lim f(x)/g(x) = C ≠ 0，则f(x)是与g(x)同阶的无穷小

　　　　③ 若lim f(x)/g(x) = ∞，则f(x)是比g(x)低阶的无穷小

　　　　④ 若lim f(x)/ [g(x)]^k = C ≠ 0，则f(x)是g(x)的k阶无穷小

　　　　⑤ 若lim f(x)/g(x) = 1，则f(x)是g(x)等价无穷小，记为 f(x) ~ g(x) 【这条对我来说十分重要，以后当做题遇到等价转换的时候不确定，可以把这个公式带进去验算。比如今天做题遇到的：当x趋于0时，ln|x|是否等价于|x-1|——参考ln(1+x)~x。计算发现lim ( ln|x| / |x-1| )≠1，因此得出不等价】

　　　　无穷小运算准则：

　　　　① o(x^n) ± o(x^n) = o(x^n)

　　　　② o(x^m) ± o(x^l) = o(x^n) 【n = min {m,l} 】

　　　　③ o(x^m) * o(x^n) = o(x^(m+n))

　　　　④ o(x^m) = o(k*x^m) = k * o(x^m)

　　　　常用的等价无穷小：

　　　　　　当x趋于0时，sinx、tanx、arcsinx、arctanx、ln(1+x)、e^x-1 ~ x　　、　　（1+x）^α - 1 = αx（经典的√1+x - 1 = (1/2)*x）　　、　　1 - cosx ~ (1/2)*(x^2)　　、　　a^x - 1 ~ xlna（a^x导数为(a^x)*lna ）

　　　　　　当x趋于1时，lnx ~ x-1

连续与间断：

　　连续点的定义：f(x)在x0的某一邻域内有定义（x,y都存在），且linf(x0) = f(x0)，则函数在x0处连续。(我的理解似乎是错的：如果当x趋于x0时函数有左右极限，且左右极限=A，且f(x0) = A，则函数在x0处连续)【若函数在 [a , b] 上连续，则函数在 [a , b]上有极限、若函数在 (a , b) 上连续且当x在x->a+和x->b-时极限存在，则函数在 (a , b) 上有极限】

　　间断点的定义与分类：（间断点只看分段点（给明分段函数或分母中存在或直接为|x|、x^2、√x^2）和无定义点（分母为0，分子为lnx时x<0等））

　　　　① 可去间断点：函数左右极限相等但f(x0)≠A

　　　　② 跳跃间断点：函数左右极限不相等

　　　　③ 无穷间断点：函数左右极限至少一个为无穷

　　　　④ 振荡间断点：函数极限不存在且在一些数中反复横跳，比如当x趋于∞时的sinx

七种未定式：

　　①：0/0、∞ / ∞、0 * ∞ ———— 全部转化成 0 / 0 或 ∞ / ∞。然后考虑洛必达（看见x^100次方这种）、泰勒（看见sinx-tanx这种）、夹逼（看见 [x] ）、等价代换（以下都是当x趋于0的情况：看见 ln sinx / x —— ln ( sinx + x / x) - 1 ）~ sinx + x / x 、看见 e^tanx - e^sinx —— 换成e^x (e^tanx - sinx - 1) ~ e^x ( tanx - sinx ) 、看见 x^x - (sinx)^x ——x^x (1-(sinx/x)^x) = - x^x ( (sinx/x)^x - 1) ~ x^x * x*ln( sinx/x )【这里用到的是( a^x - 1) ~ xlna，注意如果这里分子只有这个，则x^x可以直接替换成1，因为lim x^x = 1】

　　②：∞ - ∞：有分母就通分，没分母创造分母（做倒带换，u = 1/x）再通分

　　③：∞^0、0^∞、1^∞：前两个：u^v = e^ v*lnu ，最后一个：u^v = e^ v*(u-1)【看到根号就要有理化】

极限反求参数：已知函数的极限，且函数中含有未知数a,b。如：( a*x - b*x^2 + o (x^2) ) / x^2 = c，则上下为同阶无穷小，a*x为x^2的低阶无穷小，b*x^2为x^2的同阶无穷小，o (x^2)为x^2的高阶无穷小。除了同阶无穷小以外，本题中高阶无穷小和低阶无穷小的系数都需要为0.如果说f(x)是比g(x)高阶的无穷小，那么同阶和低阶系数就要为0

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