微积分笔记03：多元函数的极值

微积分笔记03：多元函数的极值

3.1 多元函数存在极值的必要条件

设存在函数\(f(x,y)\)，若该函数在点\((x_0,y_0)\)处具有偏导数，则有：

\[\tag{1} f(x,y)存在极值 \Rightarrow \begin{cases} f'_x(x_0,y_0)=0\\ f'_y(x_0,y_0)=0 \end{cases} \]

3.2 多元函数存在极值的充分条件及证明过程

3.2.1 多元函数存在极值的充分条件

设存在函数\(f(x,y)\)，该函数在点\((x_0,y_0)\)的邻域内具有一阶偏导数，且满足：

\[ \begin{cases} f'_x(x_0,y_0)=0\\ f'_y(x_0,y_0)=0 \end{cases} \]

若函数\(f(x,y)\)在在点\((x_0,y_0)\)的邻域内还具有二阶偏导数：

\[设：f''_{xx}(x_0,y_0)=A，f''_{xy}(x_0,y_0)=B，f''_{yy}(x_0,y_0)=C \]

则有：

\[\qquad\qquad\qquad\qquad\quad ①AC-B^2>0 \Rightarrow f(x,y)存在极值 \Rightarrow \begin{cases} A<0时有极大值\\ A>0时有极小值 \end{cases} \]

\[②AC-B^2<0 \Rightarrow f(x,y)不存在极值 \]

\[\qquad\qquad\qquad ③AC-B^2=0 \Rightarrow f(x,y) 极值存在性需进一步分析 \]

3.2.2 充分条件的证明过程

由3.2.1中的条件，存在函数\(f(x,y)\)，且该函数在点\((x_0,y_0)\)的邻域内具有一阶偏导数、二阶偏导数

若点\((x_0,y_0)\)的邻域内存在一点\((x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\)，则在\(\Delta x\)、\(\Delta y\)较小时可由二阶泰勒展开式得：

\[\qquad\qquad\qquad f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) \]

\[=f(x_0,y_0) \]

\[\qquad\qquad\qquad + \nabla f^T(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix} \]

\[\qquad\qquad\qquad\qquad + \begin{bmatrix} \Delta x & \Delta y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A&B\\ B&C \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} \]

其中，由\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)的邻域内存在一阶偏导数可得：

\[\nabla f^T(x_0,y_0) \cdot \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix}=0 \]

则有：

\[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0) + \begin{bmatrix} \Delta x & \Delta y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A&B\\ B&C \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} \]

\(若\begin{bmatrix} \Delta x & \Delta y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A&B\\ B&C \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} 为正定二次型\)：

\[ \Rightarrow f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) >f(x_0,y_0) \]

\[\tag{2} 即f(x,y)在(x_0,y_0)处取得极小值 \]

又由正定矩阵相关性质可得：

\[矩阵 \begin{bmatrix} A&B\\ B&C \end{bmatrix} 的特征值\lambda_1,\lambda_2>0 \Rightarrow \begin{vmatrix} A&B\\ B&C \end{vmatrix}>0 \]

\[\tag{3} \Rightarrow \begin {cases} AC-B^2>0\\ A+C>0 \end {cases} \Rightarrow A,C>0 \]

\(若\begin{bmatrix} \Delta x & \Delta y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A&B\\ B&C \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix} 为负定二次型\)：

\[ \Rightarrow f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y) < f(x_0,y_0) \]

\[\tag{4} 即f(x,y)在(x_0,y_0)处取得极大值 \]

又由正定矩阵相关性质可得：

\[矩阵 \begin{bmatrix} A&B\\ B&C \end{bmatrix} 的特征值\lambda_1,\lambda_2<0 \Rightarrow \begin{vmatrix} A&B\\ B&C \end{vmatrix}>0 \]

\[\tag{5} \Rightarrow \begin {cases} AC-B^2>0\\ A+C<0 \end {cases} \Rightarrow A,C<0 \]