<离散数学>代数系统——群,半群

------运算的定义及性质

设S是一个非空集合,映射f:Sn->S称为S上的一个n元运算。假设“•”是定义在集合S上的一个二元运算。若:

  1. ∀x,y∈S,x•y∈S,则称“•”在S上是封闭的。
  2. ∀x,y∈S,x•y=y•x,则称“•”在S上是可交换的。
  3. ∀x,y,z∈S,x•(y•z)=(x•y)•z,则称“•”在S上是可结合的。
  4. ∀x∈S,x•x=x,则称“•”在S上是幂等的。

 

设◆和☉是同时定义在S上的两个二元运算,如果

  1. ∀x,y,zs,x☉(y◆z)=(x☉y)◆(x☉z)且y☉(z◆x)=(y☉x)◆(z☉x),则称运算关于是可分配的。
  2. ◆和☉是可换运算,且∀x,yS,x◆(x☉y)=x及x☉(x◆y)=x,则称运算☉和◆满足吸收律

 

------代数系统及特异元的定义

一个非空集合S连同若干个定义在S上的运算f1,f2,... ,fk所组成的系统称为一个代数系统,记为<S,f1,f2,...,fk>。

 

代数系统内特异元的定义:
1.幺元(单位元):如果∃eS使得Xs,e•x=e•x=x,则称e为代数系统的幺元。

2.零元:如果∃θS使得对于S中任意元素x,都有θ•x=x•θ=θ,则称θ为代数系统中的零元。

3.幂等元:如果∃a S,使得a•a = a,则称a是系统中的幂等元。

4.逆元:a•b = b•a = e,则a和b互为逆元。

——幺元和零元都是唯一的,每个元素如果有逆元则其逆元唯一。

 

------群

对于代数系统<S,•>,如果

1.“•”是封闭运算,则为广群

2.“•”是封闭运算,也是可结合运算,则为半群

3.“•”是封闭运算,也是可结合运算,存在幺元,且每个元素都有逆元,则为

 

设n个元素的集合A上的全体置换构成集合Sn

Sn中两个置换的复合仍然是A上的一个置换,故运算是封闭的;

由于函数的复合是可结合的,故置换的复合也是可结合的; 

Sn 中存在幺置换π = (1) ,使对任何中的置换均有σ • π= π • σ= σ ,因而π = (1)是幺元;

把每个元素的x变成y的置换,其逆置换则把元素y变成x,因而每个置换都有逆;

我们把<S , •>称为 n次对称群

 

 

两种情况下都是子群:

设<G,*>和<S,*>都是群,若S是G的非空子集,则称S是G的子群

设<G,*>是群,a ϵ G,记S={ an | n ϵ Z },则<S,*>是<G,*>的子群。

(其他的定义也都可,满足第一条就行)

 

 

如果<S , •>是群,且运算满足交换律,则称<S , •>为可交换群

<S , •>为可交换群   ↔ 对任意a,b ϵ G,都有( a • b )2=a2 • b2

 

 

 

如果<S , •>是群,且其中存在一个元a使得群可由a生成,即G=(a)。则称G为循环群,a为G的一个生成元。称使得an=e的最小正整数n为元素a的周期。

在此基础上有三条推断可以直接使用:

  1. am=e   ↔     n|m
  2. ai=aj    ↔    n|(i-j)
  3. 由a生成的子群恰有n个元素,即(a) = {e,a,a2,…,an-1}

 

拉格朗日定理

群G中子群H的所有左右陪集都是等势的;

n阶群<G,*>的任何子群<H,*>的阶必是n的因子

n元群G中任何元素的周期必是n的因子。

——正规子群

设<H,*>是群<G,*>的一个子群。如果对于任何a ϵ G,aH=Ha 或 aHa-1 ⊆ H,则称H是G的正规子群(或不变子群)。

——商群

设<H,*>是群<G,*>的一个正规子群,G/H表示G的所有陪集的集合,则<G/H,•>是一个群,称为商群。“•”定义为∀aH,bH ϵ G/H,aH•bH = (a*b)H 。

 

群的同态,群的同构

设<S,*>和<T,•> 是两个二元代数系统,

如果存在映射f:S→T,使得对任意a1,a2ϵS,f(a1*a2)=f(a1)•f(a2),则称S,T同态,当f是双射时称f为同构映射。

设f是群<G,*>到<H,*>的同态映射,e‘是H的幺元,记Ker(f)={x|xϵG ∧ f(x)=e'},Ker(f)称为f的同态核。 Ker(f)是G的正规子群。

posted @ 2019-12-22 12:14  dynmi  阅读(1137)  评论(0编辑  收藏  举报