<离散数学>代数系统——群，半群

------运算的定义及性质

设S是一个非空集合，映射f：Sn->S称为S上的一个n元运算。假设“•”是定义在集合S上的一个二元运算。若：

1. ∀x,y∈S，x•y∈S，则称“•”在S上是封闭的。
2. ∀x,y∈S，x•y=y•x，则称“•”在S上是可交换的。
3. ∀x,y,z∈S，x•(y•z)=(x•y)•z，则称“•”在S上是可结合的。
4. ∀x∈S，x•x=x，则称“•”在S上是幂等的。

 

设◆和☉是同时定义在S上的两个二元运算，如果

1. ∀x,y,zs，x☉(y◆z)=(x☉y)◆(x☉z)且y☉(z◆x)=(y☉x)◆(z☉x)，则称运算关于是可分配的。
2. ◆和☉是可换运算，且∀x,yS，x◆(x☉y)=x及x☉(x◆y)=x，则称运算☉和◆满足吸收律。

 

------代数系统及特异元的定义

一个非空集合S连同若干个定义在S上的运算f1，f2，... ，fk所组成的系统称为一个代数系统，记为<S,f1,f2,...,fk>。

 

代数系统内特异元的定义：
1.幺元(单位元)：如果∃eS使得Xs，e•x=e•x=x,则称e为代数系统的幺元。

2.零元：如果∃θS使得对于S中任意元素x，都有θ•x=x•θ=θ，则称θ为代数系统中的零元。

3.幂等元：如果∃a S，使得a•a = a，则称a是系统中的幂等元。

4.逆元：a•b = b•a = e，则a和b互为逆元。

——幺元和零元都是唯一的，每个元素如果有逆元则其逆元唯一。

 

------群

对于代数系统<S,•>，如果

1.“•”是封闭运算，则为广群。

2.“•”是封闭运算，也是可结合运算，则为半群。

3.“•”是封闭运算，也是可结合运算，存在幺元，且每个元素都有逆元，则为群。

 

设n个元素的集合A上的全体置换构成集合S_n。

S_n中两个置换的复合仍然是A上的一个置换，故运算是封闭的；

由于函数的复合是可结合的，故置换的复合也是可结合的； 

S_n 中存在幺置换π = (1) ，使对任何中的置换均有σ • π= π • σ= σ ，因而π = (1)是幺元；

把每个元素的x变成y的置换，其逆置换则把元素y变成x，因而每个置换都有逆；

我们把<S , •>称为 n次对称群。

 

 

两种情况下都是子群：

设<G,*>和<S,*>都是群，若S是G的非空子集，则称S是G的子群。

设<G,*>是群，a ϵ G，记S={ aⁿ | n ϵ Z }，则<S,*>是<G,*>的子群。

（其他的定义也都可，满足第一条就行）

 

 

如果<S , •>是群，且运算满足交换律，则称<S , •>为可交换群。

<S , •>为可交换群   ↔ 对任意a，b ϵ G，都有( a • b )²=a² • b²

 

 

 

如果<S , •>是群，且其中存在一个元a使得群可由a生成，即G=(a)。则称G为循环群，a为G的一个生成元。称使得aⁿ=e的最小正整数n为元素a的周期。

在此基础上有三条推断可以直接使用：

1. a^m=e   ↔     n|m
2. aⁱ=a^j    ↔    n|(i-j)
3. 由a生成的子群恰有n个元素，即(a) = {e,a,a²,…,a^n-1}

 

拉格朗日定理

群G中子群H的所有左右陪集都是等势的；

n阶群<G，*>的任何子群<H，*>的阶必是n的因子；

n元群G中任何元素的周期必是n的因子。

——正规子群

设<H,*>是群<G,*>的一个子群。如果对于任何a ϵ G，aH=Ha 或 aHa^-1 ⊆ H，则称H是G的正规子群（或不变子群）。

——商群

设<H,*>是群<G,*>的一个正规子群，G/H表示G的所有陪集的集合，则<G/H，•>是一个群，称为商群。“•”定义为∀aH,bH ϵ G/H，aH•bH = (a*b)H 。

 

群的同态，群的同构

设<S,*>和<T,•> 是两个二元代数系统，

如果存在映射f：S→T，使得对任意a1,a2ϵS，f(a1*a2)=f(a1)•f(a2)，则称S，T同态，当f是双射时称f为同构映射。

设f是群<G,*>到<H,*>的同态映射，e‘是H的幺元，记Ker（f）={x|xϵG ∧ f(x)=e'}，Ker（f）称为f的同态核。 Ker（f）是G的正规子群。