[BZOJ 3191][JLOI 2013]卡牌游戏

觉得这题很有必要讲一下！

现在发现在做概率题，基本是向 dp 和 马尔可夫链 靠齐

但是这一题真是把我坑了，因为状态太多，马式链什么的直接死了

我一开始的想法就是用 f[i][j] 表示剩余 i 个人，现由 j 坐庄

恩～ dp 方程还是老好想的嘛～

wait! wait!! wait!!! 这尼马有后效性啊！有后效性啊！！

然后想了半天毫无进展，一看题解……

哎呦我 c 

 

其实那个方程几乎对了，但！是！有后效性就要用重标号的方法去掉！

怎么算去了呢？

其实……谁是谁更本不重要！

如果我们对每个人 i 都重标号为 0 ，列一次方程，那么每次都只算第 0 个人 （变为 0~n-1 个人） 存活的概率 即 f[1][0] 即可

所有方程的区别只在边界条件不同而已，标号什么的完全不用管，也就没有后效性了！

然后我们只要保证 0 不 over 即可，其他的都可以不用管了

若这一轮的标号是 0~i , 然后第 j 个人 over 的话

新标号为 0~i-1, 但是这里的 j~i-1 其实是原来的 j+1~i

但是我们不用去管标号变了的问题，因为本质上是一样的

 

f[i][(j+a[k]-1)%(i+1)]+=f[i+1][j]/M

 

这么写就可以了，但是还有个问题：

0 是不能被删的我们注意到在 f[i+1] -> f[i] 时

f[i][0] 其实是 0 被删去后 1 变为 0 坐庄的概率

但 0 存活到了最后，这是无法取的（事实上若 0 活到了最后，1 就不可能坐庄）

那么 f[i][0] 其实是什么呢？

f[i][i]!

因为这是一个环，在剩余 i+1 个人时，删掉了第 i 个人，在坐庄时当然由第 0 人来，这时所有人都没有被重标号

 

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int sizeOfPlayer=55;
const int sizeOfCard=55;

inline int getint();

int N, M;
int a[sizeOfCard];
double f[sizeOfPlayer][sizeOfCard];

int main()
{
    N=getint(), M=getint();
    for (int i=0;i<M;i++)
        a[i]=getint();

    for (int p=0;p<N;p++)
    {
        memset(f, 0, sizeof(f));
        f[N][(N-p)%N]=1.0;
        for (int i=N-1;i;i--)
        {
            for (int j=0;j<=i;j++)
                for (int k=0;k<M;k++)
                    f[i][(j+a[k]-1)%(i+1)]+=f[i+1][j]/M;
            f[i][0]=f[i][i];
        }

        if (p) putchar(' ');
        printf("%.2lf%%", f[1][0]*100);
    }

    putchar('\n');

    return 0;
}

inline int getint()
{
    register int num=0;
    register char ch;
    do ch=getchar(); while (ch<'0' || ch>'9');
    do num=num*10+ch-'0', ch=getchar(); while (ch>='0' && ch<='9');
    return num;
}