【ML】从特征分解,奇异值分解到主成分分析

1.理解特征值,特征向量

一个对角阵\(A\),用它做变换时,自然坐标系的坐标轴不会发生旋转变化,而只会发生伸缩,且伸缩的比例就是\(A\)中对角线对应的数值大小。

对于普通矩阵\(A\)来说,是不是也可以找到这样的向量,使得经\(A\)变换后,不改变方向而只伸缩?答案是可以的,这种向量就是\(A\)的特征向量,而对应的伸缩比例就是对应的特征值。

特征值会有复数是为什么?

首先要知道,虚数单位\(i\)对应的是旋转\(90^o\),那么,如果特征值是复数,则对应的特征向量经矩阵\(A\)变换后将会旋转\(90^o\),且伸缩率是复数的模。

2.矩阵的分解1:特征值分解

一个方阵\(A\),它的线性无关的特征向量个数不会超过其维度,不同特征值对应的特征向量一定是线性无关的。而同一特征值对应的特征向量也不一定相关。

但是,如果重复特征值重复计数,特征值的个数一定是\(n\),对应的也有\(n\)个特征向量。那么矩阵就可以分解:

\(Ax_i=\lambda x_i\)

\(AX=\Lambda X\)

其中,\(\Lambda\)是将\(A\)的特征值作为对角元素的对角阵,\(X\)是与特征值位置对应的特征向量(列)排成的矩阵。

\(A=X^{-1}\Lambda X\)

从而,可以将\(A\)分解为上面的形式,这样,在计算,分析性质等会很有帮助。

一个应用就是PCA时,对协方差矩阵\(A^TA\)做特征分解,以提取主成分。

3.矩阵的分解2:奇异值分解SVD

上面的特征值分解只针对于方阵,而对于一般矩阵,可不可以做类似分解呢?

这就是奇异值分解。

什么是奇异值:A的奇异值是\(A^TA\)的特征值的平方根。因为矩阵是变换,经非方阵\(A\)变换后也有向量其方向不变,只伸缩,这个伸缩率就是奇异值,对应的向量为\(A^TA\)的特征向量。

酉矩阵:\(A^T=A^{-1}\)的矩阵。

什么是奇异值分解?

具体来说:对于非方阵\(A\),它的奇异值分解形式是:

\(A=U\sum V^T\)

其中,\(A:m*n;U:m*m ; \sum : m*n; V:n*n\),且\(、U、V\)都是酉矩阵。

\(\sum\)矩阵只有对角线元素不为0,称为奇异值。

并且:

\(V\)是矩阵\(A^TA\) 的标准化特征向量构成的矩阵,称为右奇异向量矩阵。右奇异向量实现列数压缩。

\(U\)是矩阵\(A^TA\)的标准化特征向量构成的矩阵,称为左奇异向量矩阵。左奇异向量实现列数压缩。

\(\sum\)矩阵对角线的奇异值就是矩阵\(A^TA\)的特征值的平方根。

下面推导一下为什么是这样:

奇异值分解,将\(m*n\)的矩阵\(A\),分解为:

$A=U\sum V^T $

则:\(A^T=V\sum^T U^T => A^TA=V\sum^TU^TU\sum V^T=V\sum^2V^T\)

上面用到了\(U^TU=I\)

即得到了:

$ ATA=V\sumTU^TU\sum VT=V\sum2V^T$

因而很显然,方阵\(A^TA\)的标准化特征向量排列成的矩阵就是\(V\),而特征值开根号就是奇异值

所以,从这里也可知,奇异值的个数就是\(A^TA\)的特征值个数。

4. 主成分分析PCA

为什么做主成分分析?

做数据分析处理,针对每个样本都收集了大量特征,设样本数为\(m\),特征数为\(n\),则我们得到的数据矩阵为:

\(A=[m*n]\);每行为一个样本,每列为一个特征。

大量的数据会导致处理计算复杂,并且多个特征相互之间可能存在多重相关关系,导致把所有数据放在一起处理过分拟合了某些指标;而盲目的删除一些特征又可能导致关键信息的损失。

如何减少特征数,又保留住绝大部分信息呢?+正则化项可以自动学习这个过程。PCA主成分分析可以实现这个目的,其本质是数据降维。

怎么做主成分分析?

1.找主成分方向:正交的

将列数\(n\)降维到\(n'\),怎么做呢?如果有一个维度它的变化不大,那么包含的信息就很少,自然可以删除,但在现有数据下,很难看出哪个维度变化不大,数据是杂乱的。因此将其变换到以特征向量为基的坐标系下,\(n\)维矩阵自然可以变换到\(n\)维特征向量坐标系,这样,所有\(n\)个特征是相互正交的。变换到新的坐标系后,由于特征值的大小表征了离散程度,哪个特征变化小就可以通过特征值大小看出来。

根据最大方差理论,变化大的维度含有的信息远大于变化小的。

求PCA方向就是\(A^TA\)的特征值方向。

为什么要对\(A^TA\)求特征向量呢(为什么是这个方向)?

这是因为,原本我们想将列向量变换到正交的特征向量方向,即寻找新的坐标系,将每条数据在这个新的坐标系下标出。这个方向实际上就是\(A^TA\)的特征向量的方向。因为,根据第5部分,\(A=U\sum V^T=>AV=U\sum\),可以看到,\(V\)的各个向量的方向就是相互正交方向,这个方向使得数据\(A\)的列向量变换后依然正交。而如何将列向量变换到正交方向上去呢?投影。这个式子也给了我们答案,即相乘,类似于内积,(一个向量到另一个向量的投影)。因此,这样就将所有列向量(特征)映射到了相互正交的空间,倘若有的变量变化不大,此时可以根据特征值大小看出,即特征值小则方差小,信息量小。

另外可以发现,中心化后,\(A^TA\)就是协方差矩阵,这是为什么许多教材上直接说对协方差矩阵求特征向量,特征向量的方向就是主成分方向。

那么,确定了主成分方向,如何确定使用哪几个主成分呢?

特征值的意义就是特征向量方向上的伸缩率,因此,特征值的大小衡量了该主成分方向上的离散程度,特征值越大,则越离散,方差越大,信息越多。

因此可以定义贡献率:该特征值/特征值之和。

所以,只要选取特征值最大的几个主成分方向以及对应的主成分向量(主成分特征)就可以了。这是为什么教材中按特征值大小排序。

总结一下主成分步骤:

要将列特征变换到另一个空间,使得特征之间是相互正交的,即变换后的\(n\)维特征正好处于新坐标系的轴上。

  1. \(A^TA\)特征值以及对应的特征向量,按大小排序。
  2. 该特征向量就是新的坐标轴方向,将A的各行向新的特征值方向上做投影,得到主成分。
  3. 根据贡献率,选择需要的主成分数。

上面的过程很类似于奇异值分解,实际上,学习库中的PCA不会真的对\(A^TA\)求特征向量,这太费时了,因为求特征向量实际上就要首先求特征多项式,大于三阶不存在通用算法求解。实际上,scikit-learn做奇异值分解的途中,有算法可以直接得到右边的\(V\),从而确定了方向。

PCA的缺点是解释性不强,即变换后的特征到底代表了什么是不能够解释的,但这不影响PCA很有效,对我来说更重要的是帮助理解特征值分解和奇异值分解。

posted @ 2019-04-18 19:45  pigcv  阅读(1472)  评论(0编辑  收藏  举报