注意力汇聚

🧪 1. 生成数据集

我们首先构造一个非线性回归问题：

\[y_i = 2\sin(x_i) + x_i^{0.8} + \epsilon, \quad \epsilon \sim \mathcal{N}(0, 0.5) \]

✅ 实现代码：

import torch
import matplotlib.pyplot as plt
from d2l import torch as d2l

n_train = 50  # 训练样本数
x_train, _ = torch.sort(torch.rand(n_train) * 5)   # 排序后的训练样本

def f(x):
    return 2 * torch.sin(x) + x**0.8

y_train = f(x_train) + torch.normal(0.0, 0.5, (n_train,))  # 带噪声的输出
x_test = torch.arange(0, 5, 0.1)  # 测试输入
y_truth = f(x_test)  # 真实输出
n_test = len(x_test)  # 测试样本数

x_train 是排序过的随机数，模拟真实世界中有序的输入；y_train 加入了正态分布噪声，使任务更具挑战性。

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📈 2. 画图函数

用于可视化训练数据、真实函数和预测结果。

✅ 实现代码：

def plot_kernel_reg(y_hat):
    d2l.plot(x_test, [y_truth, y_hat], 'x', 'y', legend=['Truth', 'Pred'],
             xlim=[0, 5], ylim=[-1, 5])
    d2l.plt.plot(x_train, y_train, 'o', alpha=0.5);

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🧮 3. 平均汇聚（Average Pooling）

最简单的估计器：忽略输入 $ x $，只用所有训练输出的均值作为预测。

✅ 实现代码：

y_hat = torch.repeat_interleave(y_train.mean(), n_test)
plot_kernel_reg(y_hat)

使用 torch.repeat_interleave 将标量重复为与测试集长度相同的张量。

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🔍 4. 非参数注意力汇聚（Nadaraya-Watson 核回归）

基于高斯核的距离加权平均：

\[f(x) = \sum_{i=1}^n \mathrm{softmax}\left(-\frac{1}{2}(x - x_i)^2\right) y_i \]

✅ 实现代码：

# 构造查询与键之间的距离矩阵
X_repeat = x_test.repeat_interleave(n_train).reshape((-1, n_train))
attention_weights = torch.softmax(-(X_repeat - x_train)**2 / 2, dim=1)

# 注意力加权求和
y_hat = torch.matmul(attention_weights, y_train)
plot_kernel_reg(y_hat)

🔥 可视化注意力权重：

d2l.show_heatmaps(attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                  xlabel='Sorted training inputs',
                  ylabel='Sorted testing inputs')

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⚙️ 5. 带参数注意力汇聚（Parametric Attention Pooling）

在距离计算中引入可学习参数 $ w $：

\[f(x) = \sum_{i=1}^n \mathrm{softmax}\left(-\frac{1}{2}((x - x_i)w)^2\right) y_i \]

✅ 定义模型：

class NWKernelRegression(torch.nn.Module):
    def __init__(self):
        super().__init__()
        self.w = torch.nn.Parameter(torch.ones(1))

    def forward(self, queries, keys, values):
        queries = queries.repeat_interleave(keys.shape[1]).reshape((-1, keys.shape[1]))
        self.attention_weights = torch.softmax(
            -((queries - keys) * self.w) ** 2 / 2, dim=1)
        return torch.bmm(self.attention_weights.unsqueeze(1), values.unsqueeze(-1)).squeeze()

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📊 6. 准备训练数据（排除自身）

每个训练样本不考虑自己，仅关注其他样本：

X_tile = x_train.repeat((n_train, 1))
Y_tile = y_train.repeat((n_train, 1))

# 构建键值对，排除自己
keys = X_tile[~torch.eye(n_train, dtype=torch.bool)].reshape((n_train, -1))
values = Y_tile[~torch.eye(n_train, dtype=torch.bool)].reshape((n_train, -1))

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🏋️ 7. 训练模型

使用均方误差损失（MSE）和 SGD 进行训练：

net = NWKernelRegression()
loss = torch.nn.MSELoss(reduction='none')
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)

animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', xlim=[1, 5])

for epoch in range(5):
    optimizer.zero_grad()
    y_hat = net(x_train, keys, values)
    l = loss(y_hat, y_train).sum()
    l.backward()
    optimizer.step()
    print(f'epoch {epoch+1}, loss {float(l):.6f}')
    animator.add(epoch + 1, float(l))

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📉 8. 预测与可视化

使用训练好的模型进行预测并绘图：

keys_test = x_train.repeat((n_test, 1))
values_test = y_train.repeat((n_test, 1))
y_hat = net(x_test, keys_test, values_test)

plot_kernel_reg(y_hat)

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🔎 9. 可视化注意力权重（训练后）

d2l.show_heatmaps(net.attention_weights.unsqueeze(0).unsqueeze(0),
                  xlabel='Sorted training inputs',
                  ylabel='Sorted testing inputs')

你会发现：

• 注意力权重更加集中（因为 $ w $ 被优化）
• 预测曲线更“锐利”，不如非参数模型平滑

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📌 10. 总结

方法	是否参数化	是否灵活	平滑度	是否可微
平均汇聚	否	否	最差	是
Nadaraya-Watson 核回归	否	中等	好	是
带参数注意力汇聚	是	强	一般	是

结论：带参数注意力机制通过引入可学习参数 $ w $，提高了模型灵活性，但也可能导致过拟合或局部震荡。它为现代注意力机制（如 Transformer）奠定了基础。

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