一些有用的数学结论(持续更新)

1.染色问题

(1).环染色问题

①公式： $f(m)=(-1{)}^m\ast (n-1)+(n-1{)}^m$

②证明：

2.矩阵

(1).邻接矩阵的幂

邻接矩阵的$i$次方后的 $a(u,v)$ 表示 $u$ 在走了$i+1$步后走到 $v$的方案总数（钛变态了）

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证明
$c[i][j]$ $=$ $\Sigma a[i][k]\ast b[k][j](j\le i)$
而 $a[i][k]$ 表示 $i$ 到 $k$ 的方案总数，$b[k][j]$ 表示 $k$ 到 $j$ 的方案总数
所以根据乘法原理即证。

(2).矩阵幂的和

(3).矩阵乘法代替图形变换

3.代数变换(消元降次)

(1).均值不等式

(2).错位相消经典题型

①

${\sum }_{i=1}^{n}i\ast (i+1)$
$={\sum }_{i=1}^n\frac{i\ast (i+1)\ast [i+2-(i-1)]}{i+2-(i-1)}$
$={\sum }_{i=1}^n\frac{[i\ast (i+1)\ast (i+2)-(i-1)\ast i\ast (i+1)]}{3}$
$\because$ 错位相消
$=\frac{n\ast (n+1)\ast (n+2)}{3}$

4.模拟退火相关常量

const double q = 0.996;
// 温度变动量

srand (998244353);
for (int i = 1; i <= 1000; i++)
	srand (rand ());
//种子初值

delta = ans1 - ans2;
if (exp (-delta / t) * RAND_MAX > rand ())
//选择概率

double cx = now.x + ((rand() << 1) - RAND_MAX) * t; 
//下一个随机点

5.计算几何

(1).知三角形三点坐标求面积

Ⅰ

$|(y_j-y_i)\cdot (x_k-x_i)-(y_k-y_i)\cdot (x_j-x_i)|$
纵切法证明

Ⅱ 海伦公式

$p=\frac{a+b+c}{2}$

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$